Формула Бейеса.

Рассмотрим n попарно несовместных событий H1,H2,...,Hn, для которых известны вероятности P(Hi)≠0 и событие A⊂H1+H2+...+Hn, причем известны условные вероятности P(A/Hi). Произведен опыт, в результате которого появилось событие A. Условные вероятности событий H1,H2,...,Hотносительно события А определяются формулой

P(Hk/A)=(P(Hk)P(A/Hk))/∑P(Hi)P(A/Hi), где k=1,2,...,n.

Пример:

Один из трех стрелков производит два выстрела. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,3, для второго - 0,5, для третьего - 0,8. Мишень не поражена. Найти вероятность того, что выстрелы произведены первым стрелком.

Решение:

Введем обозначения событиям:

H1 - выстрелил первый стрелок,

H2 - выстрелил второй стрелок,

H3 - выстрелил третий стрелок.

Так как вызов на линию огня любого стрелка равновозможен, то P(H1)=P(H2)=P(H3)=1/3.

Вероятность непопадания в мишень для первого стрелка равна (1-0,3)=0,7, для второго - 0,5, а для третьего - 0,2. В результате опыта наблюдалось событие A - после произведенных выстрелов мишень не поражена. Найдем вероятность события A, при условии того, что выстрелил определенный стрелок. В первый раз он должен не попасть, во второй раз тоже должен не попасть.

P(A/H1)=0,7·0,7=0,49,

P(A/H2)=0,5·0,5=0,25,

P(A/H3)=0,2·0,2=0,04.

Подставим значения в формулу Бейеса и найдем ответ:

P(H1/A)=(P(H1)P(A/H1))/∑P(Hi)P(A/Hi)=0,49/(0,49+0,25+0,04)≈0,628.

Ответ: 0,628.

Замечание:

Вероятности P(Hk) событий H1,...,Hn до опыта называются априорными вероятностями(a priori - "сперва"), а вероятности P(Hk/A) - апостериорными(a posteriori - "после").

Задача для самостоятельного решения:

Партия деталей изготовлена тремя рабочими, причем первый изготовил 35% всех деталей, второй - 40%, третий - всю остальную продукцию. Брак в их продукции составляет: у первого - 2%, у второго - 3%, у третьего - 4%. Случайно выбранная для контроля деталь оказалась бракованной. Найти вероятность того, что она изготовлена первым рабочим.

Решение и вопросы оставляйте в комментариях.

Вам будет интересно

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован.

:-[ (B) (^) (P) (@) (O) (D) :-S ;-( (C) (&) :-$ (E) (~) (K) (I) (L) (8) :-O (T) (G) (F) :-( (H) :-) (*) :-D (N) (Y) :-P (U) (W) ;-)