Задачи на оптимальный выбор.

Решение задач на оптимальный выбор, которые представлены в сборнике ФИПИ на данный момент, можно разбить на следующие этапы:

  1. Составление математической модели|целевой функции;
  2. Задание ограничений;
  3. Исследование математической модели, используя свойства функции или производную;
  4. Анализ, запись ответа.

Алек­сей вышел из дома на про­гул­ку со ско­ро­стью v км/ч. После того, как он про­шел 6 км, из дома сле­дом за ним вы­бе­жа­ла со­ба­ка Жучка, ско­рость ко­то­рой была на 9 км/ч боль­ше ско­ро­сти Алек­сея. Когда Жучка до­гна­ла хо­зя­и­на, они по­вер­ну­ли назад и вме­сте воз­вра­ти­лись домой со ско­ро­стью 4 км/ч. Най­ди­те зна­че­ние v, при ко­то­ром время про­гул­ки Алек­сея ока­жет­ся наи­мень­шим. Сколь­ко при этом со­ста­вит время его про­гул­ки?

  1. Составим математическую модель прогулки Алексея
    Пусть V (км/ч) - это скорость Алексея, T(ч) - время, S(км) - расстояние, которое прошел Алексей. Составим краткую запись, учитывая скорость сближения Алексея с Жучкой.Скорость сближения: (v+9)-v=9 км/ч. Расстояние между Жучкой и Алексеем было 6 км. Значит Жучке потребуется 6/9=2/3 часа, чтобы догнать Алексея.

    V (км/ч) T(ч) S(км)
    до разворота домой v 6/v+2/3 6+2/3v
    после разворота домой 4 (6+2/3v)/4 6+2/3v

    На всю прогулку он потратил 6/v+2/3+(6+2/3v)/4=6/v+v/6+2/3+3/2=6/v+v/6+4/6+9/6=6/v+v/6+13/6

  2. Исследуем математическую модель

1 способ(используя производную)

(6/v+v/6+13/6)'=-6/v2+1/6

-6/v2+1/6=0

v2=36
v=6 км/ч

Подставим скорость в выражение, получим:

6/v+v/6+13/6=2+13/6=4 +1/6 часа=4 часа 10 минут.

2 способ(используя неравенство суммы взаимно-обратных чисел)

6/v+v/6+13/6

6/v+v/6 больше или равно 2. Наименьшее время будет при 6/v+v/6=2. v=6 км /ч. Получаем, 2+13/6=4 часа 10 минут.

Ответ: Скорость Алексея равна 6 км/ч, а время, затраченное на весь путь — 4 часа 10 минут.


Владимир является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно t2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 2t единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно t2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 5t единиц товара. За каждый час работы (на каждом из заводов) Владимир платит рабочему 500 рублей. Владимиру нужно каждую неделю производить 580 единиц товара. Какую наименьшую сумму придется тратить еженедельно на оплату труда рабочих?

  1. Составим математическую модель
    Пусть на первом заводе рабочие трудятся х2 часов в неделю, а на втором y2 часов в неделю.
    Составим целевую функцию:(x2+y2)500 - затрата на оплату рабочих
    2x+5y=580
    y=(580-2x)/5
    f(x)=(x2+(580-2x)2/52)
    500=(x2+(580-2x)2/25)
    500=500x2+(5802-1160x+4x2)
    20=20(29x2+5802-2320x).
  2. Исследуем математическую модель
    Функция f(x)=20(29x2+5802-2320x) - квадратичная с положительным коэффициентом при x2, значит наименьшее значение достигает в вершине параболы.
    хmin=2320/58=40.
    Подставим значение хmin в целевую функцию, получим: 20(29·402+5802-2320·40)=5800 000.

Ответ: Рабочим требуется еженедельно платить минимум 5 800 000 рублей.

Вам будет интересно

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован.

:-[ (B) (^) (P) (@) (O) (D) :-S ;-( (C) (&) :-$ (E) (~) (K) (I) (L) (8) :-O (T) (G) (F) :-( (H) :-) (*) :-D (N) (Y) :-P (U) (W) ;-)