Формула включений и исключений.

Пусть |Ω| - общее количество объектов, а |Ai| - количество объектов, которые обладают свойством i, |A1∩A2| - количество объектов, обладающих свойствами 1 и 2,...,|A1∩...∩An| - количество объектов, обладающих свойствами 1,...,n. Тогда количество объектов, не обладающих ни одним из свойств равно:

Примеры решения задач

В летнем лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок, и хор. Сколько ребят не поют в хоре, не увлекаются спортом и не занимаются в драмкружке

Решение:

70-27-32-22+10+6+8-3=10.

Ответ: 10 ребят не поют в хоре, не увлекаются спортом и не занимаются в драмкружке.


Сколько существует натуральных чисел, не превосходящих 1000, которые не делятся ни на 3, ни на 5?

Решение:

Натуральное число, которое делится на 3 можно представить в виде: 3·n, где n - натуральное число. Следовательно, 333 числа делятся на 3.

Натуральное число, которое делится на 5 можно представить в виде: 5·n, где n - натуральное число. Следовательно, 200 чисел делятся на 5.

Натуральное число, которое делится и на 3 и на 5 можно представить в виде: 15·n, где n - натуральное число. Следовательно, 66 чисел делятся на и на 3 и на 5.

1000-333-200+66=533.

Ответ: 533 числа не делятся ни на 3, ни на 5.


Сколько существует натуральных чисел, не превосходящих 1000, которые не делятся ни на 5, ни на 7?

Решение:

Натуральных чисел, которые делятся на 5: 200.

Натуральных чисел, которые делятся на 7: 142.

Числа, которые делятся и на 5 и на 7: 28.

1000-200-142+28=686.

Ответ: 686 чисел, не превосходящих 1000, не делятся ни на 5, ни на 7.


Каждая сторона в треугольнике ABC разделена на 8 равных отрезков. Сколько существует различных треугольников с вершинами в точках деления (точки A, B, C не могут быть вершинами треугольников), у которых ни одна сторона не параллельна ни одной из сторон треугольника ABC?

Решение:

На каждой стороне треугольника 7 точек. Всего можно построить 73 треугольников. У 3·72 треугольников одна из сторон параллельна одной из сторон треугольника ABC, у 3·7 треугольников –  две стороны, у 1 треугольника –  все стороны.

73-3·72+3·7-1=343-147+21-1=216.

Ответ: 216 треугольников.


В классе 30 учеников. Сколькими способами они могут пересесть так, чтобы ни один не сел на своё место?

Решение:

Общее количество пересаживаний равно: 30!.

Количество пересаживаний, когда 1 ученик остается на своем месте равно: 29!·(30!/(30-1)!/1!)=29!·30.

Количество пересаживаний, когда 2 ученика остаются на своем месте равно: 28!·30!/(30-2)!/2!=28!·30·29/2!

...

Количество пересаживаний, когда 29 учеников остаются на своем месте равно: 1!·30!/(30-29)!/29!=30.

Количество пересаживаний, когда 30 учеников остаются на своем месте равно: 0!·30!/(30-30)!/30!=1.

30!-29!30+28!·30·29/2!-...-30+1=30!(1-1/1!+1/2!-...-1/29!+1/30!)=30!(1/2!-...-1/29!+1/30!).

Ответ: 30!(1/2!-...-1/29!+1/30!).

 

Вам будет интересно

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован.

:-[ (B) (^) (P) (@) (O) (D) :-S ;-( (C) (&) :-$ (E) (~) (K) (I) (L) (8) :-O (T) (G) (F) :-( (H) :-) (*) :-D (N) (Y) :-P (U) (W) ;-)