Схема Горнера

Схема Горнера — схема, с помощью которой можно разделить многочлен  на бином x-x0Данная схема очень часто упрощает решение уравнений, если известен какой-нибудь целочисленный корень уравнения.

Алгоритм вычисления по схеме Горнера:

  1. Заполняем таблицу, количество столбцов которой на 2 больше, чем степень исходного многочлена;
  2. Начиная со второй ячейки первой строки записываем коэффициенты исходного многочлена, предварительно записанного в стандартном виде;
  3. В первую ячейку второй строки записываем потенциальный корень многочлена(x0);
  4. Под первым коэффициентом делимого а0 во второй строчке пишется ещё раз этот коэффициент;
  5. Под коэффициентом а1 пишется число b1=а1+b0·x0;
  6. Под коэффициентом аn пишется число bn=аn+bn-1x0;

В последней ячейке второй строки должен получиться остаток от деления многочлена на бином x-x0. Если он равен нулю, то исходный многочлен делится без остатка на бином x-x0.  Из заполненной таблицы по схеме Горнера, можно выписать и неполное частное при делении многочлена на бином x-x0. Коэффициенты неполного частного берутся из второй строки.

Рассмотрим пример. Решить уравнение  3x4-6x3+2x2+2x-1=0.

1. Подбираем корень уравнения.

Потенциальными корнями уравнения могут быть делители свободного члена: -1, 1.

Подставим 1 в исходное уравнение вместо х: 3·14-6·13+2·12+2·1-1=3-6+2+2-1=-3+4-1=0. Следовательно, x=1 — корень уравнения.

2. Заполним схему Горнера.

3 -6 2 2 -1
1 3 -3=-6+1·3 -1=2+1·(-3) 1=2+1·(-1) 0=-1+1·1

Следовательно, уравнение можно записать в виде: (x-1)(3x3-3x2-x+1)=0. Попытаемся разложить на множители многочлен 3x3-3x2-x+1. 

3 -3 -1 1
1 3 0=-3+1·3 -1=-1+1·0 0=1+1·(-1)

Получаем, 3x4-6x3+2x2+2x-1=(x-1)(3x3-3x2-x+1)=(x-1)(x-1)(3x2-1).

Уравнение 3x4-6x3+2x2+2x-1=0 имеет корни: 1, 1/√3, -1/√3.

 

 

Вам будет интересно

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован.

:-[ (B) (^) (P) (@) (O) (D) :-S ;-( (C) (&) :-$ (E) (~) (K) (I) (L) (8) :-O (T) (G) (F) :-( (H) :-) (*) :-D (N) (Y) :-P (U) (W) ;-)