Экономическая задача. ЕГЭ 1.06.2018.

Вариант 1

15-го декабря планируется взять кредит в банке на 21 месяц. Условия возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й долг должен быть на 30 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

— к 15-му числу 21-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1604 тысяч рублей?


Решение

Пусть S тысяч рублей - сумма, которую взяли в кредит.

1 2 3 ... 20 21
Долг  до начисления процентов

(тыс. руб.)

S S-30 S-90 S-570 S-600
Процент

(тыс. руб.)

0,03S (S-30)0,03 (S-90)0,03 (S-570)0,03 (S-600)0,03
Выплаты

(тыс. руб.)

30+0,03S 30 +(S-30)0,03 30 +(S-90)0,03 30+(S-570)0,03 S-600+(S-600)0,03

Всего выплатили 1604 тысяч рублей. Составим и решим уравнение:

30+0,03S+30+(S-30)0,03+30+(S-90)0,03+...+30+(S-570)0,03+S-600+(S-600)0,03=1604

600+1,63S-0,03(30+90+...+570+600)-600=1604

1,63S=1604+0,03(30+600)10

1,63S=1604+189

1,63S=1793

S=1100

Ответ: 1100 тысяч рублей.


Вариант 2

15-го декабря планируется взят кредит в банке на 1 000 000 рублей на (n+1) месяц. Условия его возврата таковы:

—1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;

—cо 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

—15-го числа каждого месяца с 1-го по n-й долг должен быть на 40 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

—15-го числа n-го месяца долг составит 200 тысяч рублей;

—к 15-му числу (n + 1)-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Найдите r, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1378 тысяч рублей.


Решение

Найдем количество месяцев, на которые был взят кредит:

1000-40n-200=0

40n=800

n=20

1 2 3 ... 20 21
Долг  до начисления процентов

(тыс. руб.)

1000 960 920 240 200
Процент

(тыс. руб.)

1000r/100 960r/100 920r/100 240r/100 200r/100
Выплаты

(тыс. руб.)

40+1000r/100 40 +960r/100 40+920r/100 40+240r/100 200r/100+200

Всего выплатили 1378 тысяч рублей. Составим и решим уравнение:

40+1000r/100+40+960r/100+40+920r/100+...+40+240r/100+200r/100+200=1378

800+r/100(1000+960+920+...240+200)+200=1378

12600r/100=378

r=3

Ответ: 3%.

Читать дальше

Экономическая задача (Вариант №219/Ларин-2018).

Брокерская фирма выставила на торги пакет  акций, состоящий  из  акций  двух компаний: нефтяной компании (по 100 долларов за акцию) и газовой компании (по 65 долларов 60 центов за акцию). Всего было выставлено  200 акций. Все акции газовой компании были проданы, а часть акций нефтяной компании  осталась не проданной. Общая сумма выручки оказалась равной 13120 долларов. Определите процент акций газовой  компании в выставленном  на  продажу  пакете и найдите сумму выручки, полученной за акции газовой компании.

Читать дальше

Задачи на оптимальный выбор.

Решение задач на оптимальный выбор, которые представлены в сборнике ФИПИ на данный момент, можно разбить на следующие этапы:

  1. Составление математической модели|целевой функции;
  2. Задание ограничений;
  3. Исследование математической модели, используя свойства функции или производную;
  4. Анализ, запись ответа.

Алек­сей вышел из дома на про­гул­ку со ско­ро­стью v км/ч. После того, как он про­шел 6 км, из дома сле­дом за ним вы­бе­жа­ла со­ба­ка Жучка, ско­рость ко­то­рой была на 9 км/ч боль­ше ско­ро­сти Алек­сея. Когда Жучка до­гна­ла хо­зя­и­на, они по­вер­ну­ли назад и вме­сте воз­вра­ти­лись домой со ско­ро­стью 4 км/ч. Най­ди­те зна­че­ние v, при ко­то­ром время про­гул­ки Алек­сея ока­жет­ся наи­мень­шим. Сколь­ко при этом со­ста­вит время его про­гул­ки?

  1. Составим математическую модель прогулки Алексея
    Пусть V (км/ч) - это скорость Алексея, T(ч) - время, S(км) - расстояние, которое прошел Алексей. Составим краткую запись, учитывая скорость сближения Алексея с Жучкой.Скорость сближения: (v+9)-v=9 км/ч. Расстояние между Жучкой и Алексеем было 6 км. Значит Жучке потребуется 6/9=2/3 часа, чтобы догнать Алексея.

    V (км/ч) T(ч) S(км)
    до разворота домой v 6/v+2/3 6+2/3v
    после разворота домой 4 (6+2/3v)/4 6+2/3v

    На всю прогулку он потратил 6/v+2/3+(6+2/3v)/4=6/v+v/6+2/3+3/2=6/v+v/6+4/6+9/6=6/v+v/6+13/6

  2. Исследуем математическую модель

1 способ(используя производную)

(6/v+v/6+13/6)'=-6/v2+1/6

-6/v2+1/6=0

v2=36
v=6 км/ч

Подставим скорость в выражение, получим:

6/v+v/6+13/6=2+13/6=4 +1/6 часа=4 часа 10 минут.

2 способ(используя неравенство суммы взаимно-обратных чисел)

6/v+v/6+13/6

6/v+v/6 больше или равно 2. Наименьшее время будет при 6/v+v/6=2. v=6 км /ч. Получаем, 2+13/6=4 часа 10 минут.

Ответ: Скорость Алексея равна 6 км/ч, а время, затраченное на весь путь — 4 часа 10 минут.


Владимир является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно t2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 2t единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно t2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 5t единиц товара. За каждый час работы (на каждом из заводов) Владимир платит рабочему 500 рублей. Владимиру нужно каждую неделю производить 580 единиц товара. Какую наименьшую сумму придется тратить еженедельно на оплату труда рабочих?

  1. Составим математическую модель
    Пусть на первом заводе рабочие трудятся х2 часов в неделю, а на втором y2 часов в неделю.
    Составим целевую функцию:  g(x,y)=(x2+y2)500 - затрата на оплату рабочих

    2x+5y=580
    y=(580-2x)/5f(x)=(x2+(580-2x)2/52)500
    f(x)=(x2+(580-2x)2/25)500
    f(x)=500x2+(5802-1160x+4x2)20
    f(x)=580x2-46400x+6728000

  2. Исследуем математическую модель
    Функция f(x)=580x2-46400x+6728000 - квадратичная с положительным коэффициентом при x2, значит наименьшее значение достигает в вершине параболы.
    хmin=46400/1160=40.
    Подставим значение хmin в y=(580-2x)/5=100 и  g(x,y)=(402+1002)500=5800000.

Ответ: Рабочим требуется еженедельно платить минимум 5 800 000 рублей.

Читать дальше