Задачи ОГЭ по геометрии.

Задача 1. Дерево высотой 1,8 метра растет на расстоянии 6 метров от столба, на котором висит фонарь на высоте 3,6 метра. Найдите длину тени дерева в метрах.

Рассмотрим треугольники ABC и ADE:

  1. ∠ A - общий;
  2. ∠ABC=∠ADE=90°.

Следовательно, Δ ABC подобен Δ ADE(по 2 углам).

Из подобия треугольников следует, что AB/AD=AC/AE=BC/DE.

x/(x+6)=1,8/3,6

x=6.

Ответ: длина тени равна 6 метров.

Задача 2. К вершинам двух столбов привязан гибкий шнур. На середину шнура сел аист, и шнур провис до земли. На каком расстоянии от столба высотой 3 метра аист коснулся земли, если высота второго столба 2 метра, а расстояние между ними 5 метров?

Рассмотрим треугольники MNK и KEL: NK=KE.

Пусть длина MK равна х метров, тогда KL=5-x метров. По теореме Пифагора NK2=x2+9=KE2=(5-x)2+4.

x2+9=25-10x+x2+4

10x=25+4-9

10x=30

x=3

Следовательно, MK=3.

KL=ML-MK=5-3=2.

Ответ: 2 метра.

Задание 3. Парты в классе стоят на одинаковом расстоянии друг от друга. От первой парты до доски 3,5 метра, а от пятой - 9,5 метров. На каком расстоянии от доски находится третья парта? Ответ дайте в метрах.

Найдем расстояние от первой парты до пятой: 9,5-3,5=6. Найдем расстояние между началом первой парты до начала второй: 6/4=1,5 метра.

Следовательно от доски до начала третьей парты: 3,5+1,5+1,5=6,5 метров.

Ответ: 6,5 метров.

Задача 4. С крыши дома игрушка "летающая тарелка" выглядит размером с десятикопеечную монету, если монета находится на расстоянии 50 см от глаз. Диаметр летающей тарелки 34 см, диаметр десятикопеечной монеты 1,7 см. Найдите высоту дома в метрах.

Диаметр Расстояние
тарелка 34
монета 1,7 50

Составляем пропорцию:

34/1,7 = x/50

x = 34 · 50 / 1,7 = 1000 cм = 10 м

Ответ: 10 метров.

Задача 5. Сидя в кресле напротив окна, пенсионер Иван Петрович видит дом ненавистного соседа Павла Андреевича. Чтобы не созерцать неприятную картинку, Иван Петрович хочет наклеить на окно прямоугольник подходящего размера, закрывающий дом. Дом Павла Андреевича высотой 4 метра и расположен от дома Ивана Петровича на расстоянии 5 метров от окна. Какой высоты должен быть прямоугольник на окне? Ответ дайте в сантиметрах.

5/х=(35+5)/4

х=5·4/(35+5)

x=20/40

x=0,5 (м)

x=50 (см)

Ответ: 50 сантиметров.

Читать дальше

Задача на работу (Вариант № 152/Ларин-2018).

Формула, используемая при решении задач на работу, аналогична той, которая используется при решении задач на движение. А именно, если мы производительность умножим на затраченное время, то получим выполненный объем работы, который удобно принимать за единицу.


Двое землекопов,  первый из которых начинает работать на 20 мин позже второго, могут выкопать траншею за 1 ч 20 мин. Если бы эту работу выполнял каждый землекоп в отдельности, то первому потребовалось бы на 1 ч больше, чем второму. За сколько часов каждый из них, работая в отдельности, может выкопать траншею(Вариант № 152/Ларин-2018).

Пусть производительность первого землекопа равна x, а производительность второго землекопа равна yСоставим и решим систему уравнений. Первое уравнение: производительность второго умноженное на 1/3 часа(20 минут)/сначала 2-ой землекоп работал 20 минут/+сумма производительностей первого и второго землекопа умноженная на 1 час/позже первый и второй землекоп работали вместе 1 час/ равняется всей работе, которое мы принимаем за единицу. Второе уравнение: 1/x - время, которое тратит первый землекоп для того, чтобы выкопать траншею в одиночку, а 1/y - время, которое тратит второй землекоп для того, чтобы выкопать траншею в одиночку. Так как первому землекопу требуется на 1 час больше времени, чем второму, то 1/х-1=1/y.

 

Второму землекопу потребуется 2 часа, а первому 2+1=3 часа.

Ответ: Первому - 3 часа, а второму - 2 часа.

 

Читать дальше

Геометрическое решение задач на движение.

В некоторых задачах на движение картинку лучше рисовать на координатной плоскости, где на оси абсцисс откладывается время, а на оси ординат - расстояние. Иногда более простым оказывается геометрическое решение задачи, использующее подобие треугольников.

Рассмотрим задачу:

Из городов А и В навстречу друг другу одновременно вышли два товарных поезда. Они двигались без остановок, встретились через 24 часа после начала движения и продолжили свой путь, причем первый поезд прибыл в пункт В на 20 часов позднее, чем второй поезд прибыл в пункт А. Сколько времени был в пути первый поезд?

Решение:

Пусть х часов - время, затраченное вторым поездом на весь путь из B в A. Тогда (x+20) часов- время, затраченное первым поездом на весь путь из А в В. Нарисуем рисунок на координатной плоскости tOs:

Тогда D на рисунке соответствует моменту встречи поездов и имеет, согласно условию задачи, абсциссу, равную 24.

Из подобия треугольников BDC и EDA имеем:

BC/AE=DC/AD

(х+20)/х=DC/AD

Из подобия треугольников ACG и ADF имеем:

AG/AF=AC/AD

(х+20)/24=AC/AD.

Так как верно соотношение

AC/AD=(AD+DC)/AD=1+DC/AD, получаем уравнение:

(х+20)/24=1+(х+20)/х

х2-28х-480=0

х=40.

Значит, первый поезд затратил на весь путь х+20=60 часов.

Ответ: 60 часов.

Читать дальше

Формула Бейеса.

Рассмотрим n попарно несовместных событий H1,H2,...,Hn, для которых известны вероятности P(Hi)≠0 и событие A⊂H1+H2+...+Hn, причем известны условные вероятности P(A/Hi). Произведен опыт, в результате которого появилось событие A. Условные вероятности событий H1,H2,...,Hотносительно события А определяются формулой

P(Hk/A)=(P(Hk)P(A/Hk))/∑P(Hi)P(A/Hi), где k=1,2,...,n.

Пример:

Один из трех стрелков производит два выстрела. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,3, для второго - 0,5, для третьего - 0,8. Мишень не поражена. Найти вероятность того, что выстрелы произведены первым стрелком.

Решение:

Введем обозначения событиям:

H1 - выстрелил первый стрелок,

H2 - выстрелил второй стрелок,

H3 - выстрелил третий стрелок.

Так как вызов на линию огня любого стрелка равновозможен, то P(H1)=P(H2)=P(H3)=1/3.

Вероятность непопадания в мишень для первого стрелка равна (1-0,3)=0,7, для второго - 0,5, а для третьего - 0,2. В результате опыта наблюдалось событие A - после произведенных выстрелов мишень не поражена. Найдем вероятность события A, при условии того, что выстрелил определенный стрелок. В первый раз он должен не попасть, во второй раз тоже должен не попасть.

P(A/H1)=0,7·0,7=0,49,

P(A/H2)=0,5·0,5=0,25,

P(A/H3)=0,2·0,2=0,04.

Подставим значения в формулу Бейеса и найдем ответ:

P(H1/A)=(P(H1)P(A/H1))/∑P(Hi)P(A/Hi)=0,49/(0,49+0,25+0,04)≈0,628.

Ответ: 0,628.

Замечание:

Вероятности P(Hk) событий H1,...,Hn до опыта называются априорными вероятностями(a priori - "сперва"), а вероятности P(Hk/A) - апостериорными(a posteriori - "после").

Задача для самостоятельного решения:

Партия деталей изготовлена тремя рабочими, причем первый изготовил 35% всех деталей, второй - 40%, третий - всю остальную продукцию. Брак в их продукции составляет: у первого - 2%, у второго - 3%, у третьего - 4%. Случайно выбранная для контроля деталь оказалась бракованной. Найти вероятность того, что она изготовлена первым рабочим.

Решение и вопросы оставляйте в комментариях.

Читать дальше