Формула включений и исключений.

Пусть |Ω| - общее количество объектов, а |Ai| - количество объектов, которые обладают свойством i, |A1∩A2| - количество объектов, обладающих свойствами 1 и 2,...,|A1∩...∩An| - количество объектов, обладающих свойствами 1,...,n. Тогда количество объектов, не обладающих ни одним из свойств равно:

Примеры решения задач

В летнем лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок, и хор. Сколько ребят не поют в хоре, не увлекаются спортом и не занимаются в драмкружке

Решение:

70-27-32-22+10+6+8-3=10.

Ответ: 10 ребят не поют в хоре, не увлекаются спортом и не занимаются в драмкружке.


Сколько существует натуральных чисел, не превосходящих 1000, которые не делятся ни на 3, ни на 5?

Решение:

Натуральное число, которое делится на 3 можно представить в виде: 3·n, где n - натуральное число. Следовательно, 333 числа делятся на 3.

Натуральное число, которое делится на 5 можно представить в виде: 5·n, где n - натуральное число. Следовательно, 200 чисел делятся на 5.

Натуральное число, которое делится и на 3 и на 5 можно представить в виде: 15·n, где n - натуральное число. Следовательно, 66 чисел делятся на и на 3 и на 5.

1000-333-200+66=533.

Ответ: 533 числа не делятся ни на 3, ни на 5.


Сколько существует натуральных чисел, не превосходящих 1000, которые не делятся ни на 5, ни на 7?

Решение:

Натуральных чисел, которые делятся на 5: 200.

Натуральных чисел, которые делятся на 7: 142.

Числа, которые делятся и на 5 и на 7: 28.

1000-200-142+28=686.

Ответ: 686 чисел, не превосходящих 1000, не делятся ни на 5, ни на 7.


Каждая сторона в треугольнике ABC разделена на 8 равных отрезков. Сколько существует различных треугольников с вершинами в точках деления (точки A, B, C не могут быть вершинами треугольников), у которых ни одна сторона не параллельна ни одной из сторон треугольника ABC?

Решение:

На каждой стороне треугольника 7 точек. Всего можно построить 73 треугольников. У 3·72 треугольников одна из сторон параллельна одной из сторон треугольника ABC, у 3·7 треугольников –  две стороны, у 1 треугольника –  все стороны.

73-3·72+3·7-1=343-147+21-1=216.

Ответ: 216 треугольников.


В классе 30 учеников. Сколькими способами они могут пересесть так, чтобы ни один не сел на своё место?

Решение:

Общее количество пересаживаний равно: 30!.

Количество пересаживаний, когда 1 ученик остается на своем месте равно: 29!·(30!/(30-1)!/1!)=29!·30.

Количество пересаживаний, когда 2 ученика остаются на своем месте равно: 28!·30!/(30-2)!/2!=28!·30·29/2!

...

Количество пересаживаний, когда 29 учеников остаются на своем месте равно: 1!·30!/(30-29)!/29!=30.

Количество пересаживаний, когда 30 учеников остаются на своем месте равно: 0!·30!/(30-30)!/30!=1.

30!-29!30+28!·30·29/2!-...-30+1=30!(1-1/1!+1/2!-...-1/29!+1/30!)=30!(1/2!-...-1/29!+1/30!).

Ответ: 30!(1/2!-...-1/29!+1/30!).

 

Читать дальше

Возведение в квадрат натурального числа, которое заканчивается на 5, в уме.

Чтобы возвести в квадрат число, которое заканчивается на 5, можно воспользоваться следующим алгоритмом:

  1. Отбросить у числа последнюю цифру справа;
  2. Умножить полученное число на последующее за ним число в ряду натуральных чисел;
  3. К полученному в пункте 2 числу приписать справа 25.

Пример:

1052=10·(10+1)25=11025

252=2·(3)25=625

Читать дальше

Умножение на 11 двузначного и трехзначного числа.

Алгоритм умножения на 11 двузначного числа:

  1. Сосчитайте сумму цифр двузначного числа;
  2. Если сумма цифр двузначного числа больше 10, то к первой цифре исходного числа прибавьте 1, а от суммы отнимите 10;
  3. Запишите ответ в виде: первая цифра исходного числа, сумма цифр исходного числа, вторая цифра исходного числа.

Пример:

23·11=2(2+3)3=253

59·11=(5+1)(5+9-10)9=649

Алгоритм умножения на 11 трехзначного числа:

  1. Найдите сумму 1 и 2 цифры исходного числа(A) и 2 и 3 цифры исходного числа(B);
  2. Если B>10, то к A прибавьте 1, а из B вычтите 10. Если A>10, то к первой цифре исходного числа прибавьте 1, а из А вычтите 10;
  3. Запишите ответ в виде: первая цифра, A, B, последняя цифра.

Пример:

333·11=3(3+3)(3+3)3=3663

234·11=2(2+3)(3+4)4=2574

689·11=(6+1)(6+8+1-10)(8+9-10)9=7579

999·11=(9+1)(9+9-10+1)(9+9-10)9=10989

Читать дальше

Метод Прокруста.

Одним из способов решения задач на части является метод Прокруста.

Прокруст - это древнегреческий мифологический злодей, стремящийся "отрезать лишнее" или "добавить недостающее".

Пример:

На двух полках 28 книг. На первой полке на 2 книги меньше, чем на другой. Сколько книг на каждой полке.

Решение 1:

28-2=26 - отнимаем лишнее

26/2=13 - книг на первой полке (делим на количество объектов)

13+2=15 - книг на второй полке

Решение 2:

28+2=30 - прибавим недостающее

30/2=15 - книг на второй полке (делим на количество объектов)

15-2=13 - книг на первой полке

Ответ: 13 книг на первой полке и 15 книг на второй полке.

С помощью данного метода можно решить следующие задачи:

  1. Сумма четырех последовательных чисел равна 58. Найдите эти числа.
  2. Сумма трех последовательных чисел равна 105. Найдите эти числа.
  3. Сумма четырех последовательных чисел равна 70. Найдите эти числа.
  4. У Маши и Наташи 120 рублей. У Наташи на 46 рублей больше, чем у Маши.  Сколько денег у каждого?
  5. Пёс и кот одновременно схватили зубами батон колбасы с разных сторон. Если пёс откусит свой кусок и убежит, то коту останется на 300 г больше, чем псу. Если кот откусит свой кусок и убежит, псу достанется на 500 г больше, чем коту. Сколько колбасы останется, если оба откусят свои куски и убегут?
  6. Чип и Дэйл одновременно схватили зубами огромную печенюшку с разных сторон. Если Чип откусит свой кусок и убежит, то Дэйлу останется на 100 г больше, чем Чипу. Если Дэйл откусит свой кусок и убежит, то Чипу достанется на 200 г больше, чем Дэйлу. Сколько грамм печенюшки останется, если оба откусят свои куски и убегут?
  7. Волк с тремя поросятами написал детектив «Три поросёнка–2», а потом вместе с Красной Шапочкой и её бабушкой — кулинарную книгу «Красная Шапочка–2». В издательстве выдали гонорар за обе книжки поросёнку Наф-Нафу. Он забрал свою долю и передал оставшиеся 2100 золотых монет Волку. Гонорар за каждую книгу делится поровну между её авторами. Сколько денег Волк должен взять себе?
  8. «А это вам видеть пока рано», — сказала Баба-Яга своим 33 ученикам и скомандовала: «Закройте глаза!» Правый глаз закрыли все мальчики и треть девочек. Левый глаз закрыли все девочки и треть мальчиков. Сколько учеников всё-таки увидели то, что видеть пока рано?

Решение задач

Читать дальше