Размещения и сочетания.

Сколько вариантов подбора четырехзначного кода, состоящего только из цифр? А из букв латинского алфавита? Прочитав данную статью до конца, вы сможете решить данные задачи без проблем. Итак, начнем.

Размещениями называют множества, составленные из n элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком.

Число всех возможных размещений, если все n элементы различны, определяется формулой:

 A=n(n-1)(n-2)...(n-m+1).

Число размещений по m с повторениями из n элементов равно nm. Таким образом: A(c повторениями)=nm.

Примеры:

  1. Сколько способов выбрать старосту и заместителя старосты из 25 кандидатов?
    Решение:
    25•24=600
    Ответ: 600.
  2. Сколькими способами девочка Кристи может разложить 6 кукол по трём ящикам, если каждый ящик может вместить все куклы?
    Решение:
    A=312 =531441
    Ответ: 531441.

Сочетаниями из n элементов по m называются множества, содержащие m элементов из числа n заданных, и которые отличаются хотя бы одним элементом.

Число сочетаний из n элементов по m обозначают: С(m,n).

Число всех возможных сочетаний, если все n элементы различны, определяется формулой:

С(m,n)=n!/(m!(n-m)!).

Число сочетаний с  повторениями равно: С(m,n) с повт. = С(m,n+m-1).

Полагают, что С(0,n)=1.

Для количества сочетаний справедливы равенства:

  1. С(m,n)=C(n-m,n),
  2. C(m+1,n+1)=C(m,n)+C(m+1,n),
  3. C(0,n)+C(1,n)+C(2,n)+...+C(n-1,n)+C(n,n)=2(число всех подмножеств множества, состоящего из n элементов равно 2n).

Примеры:

  1. Сколько способов выбрать три лица на три одинаковые должности из 25 кандидатов?
    Решение:
    С(3,25)=25!/(3!(22)!)=(23•24•25)/6=2300
    Ответ: 2300.
  2. В почтовом отделении продаются открытки 10 сортов. Сколькими способами можно купить в нем 12 открыток?
    Решение:
    С(12,10)=С(12,12+10-1)=С(12,21)=21!/(12!(21-12)!)=293930
    Ответ: 293930.
Читать дальше

Элементы комбинаторики. Перестановки.

Множества элементов, состоящие из одних и тех же различных элементов и отличающиеся друг от друга только их порядком, называются перестановками этих элементов.

В перестановках элементы только переставляют. Поменяв местами любые два элемента множества, мы получим новую перестановку. Количество возможных перестановок множества из n элементов обозначают: Pn.

Алгоритм нахождения перестановок:

  1. Выберем элемент, который будет находиться на первом месте. Количество способов его выбрать равняется количеству элементов. Всего n элементов, значит количество способов тоже n.
  2. Так как первый элемент уже на месте, то количество элементов которые ещё не на месте уменьшается на единицу. На второе место мы можем поставить n-1 элемента.
  3. На третье место n-2 элемента.
  4. На четвертое n-3 элемента.
  5.  ...

n. На n-ое место оставшийся элемент.

Зная как находятся перестановки и используя правило произведения из комбинаторики, найдем количество перестановок множества из n элементов.

Pn=n•(n-1)•(n-2)•(n-3)•...•1=n!

n! - произведение n первых натуральных чисел (читается как "эн факториал")

Замечание: 

Пустое множество можно упорядочить только одним способом. Полагают, что 0!=1.

Примеры:

  1. Сколько различных способов выстроиться в ряд компании из 6 человек?

    Решение:

    P6=6•(6-1)•(6-2)•(6-3)•...•1=6!=720.

    Ответ: 720.

  2. Сколько различных чисел можно составить из цифр 1, 2 и 3?

    Решение:

    P3=3•(3-1)•(3-2)=3!=6.

    Ответ: 6.

Выше предполагалось, что все элементы различны. Если же некоторые элементы повторяются, то число перестановок с повторениями определяется следующей формулой.

Pn(n1,n2,n3,...,nk)=n!/(n1!•n2!•n3!•...•nk!)

Примеры:

  1. Сколько различных перестановок букв можно сделать в слове: М,А,Т,Е,М,А,Т,И,К,А?

     Решение:

     Количество букв равно 10.

     Буква М повторяется 2 раза, буква А - 3 раза, буква Т - 2 раза, буквы И и К по одному разу.

     P10(2,3,2,1,1)=10!/(2!•3!•2!•1!•1!)=3628800/(2•6•2•1•1)=151200

    Ответ: 151200.

  2. Сколько различных шестизначных чисел можно составить из цифр 1, 1, 2, 2, 2, 3?

     Решение:

     P6(1,2,3)=6!/(1!•2!•3!)=720/12=60.

    Ответ: 60.

 

 

Читать дальше

Элементы комбинаторики. Правило суммы и произведения.

Комбинаторика – это раздел математики, занимающейся изучением всевозможных комбинаций (соединений), которые можно составить по определённому правилу из заданного набора объектов.

Правило суммы: если существует группа из m элементов и отличная от неё группа из n элементов, а требуется выбрать из них всего один элемент, то сделать это можно m+n способами.

Пример:

В гардеробе у Нади 2 платья и 3 костюма. Ей необходимо выбрать наряд для праздника.  Сколько вариантов у нее имеется.

Ответ: 2+3=5.

Правило произведения: если нужно выбрать пару элементов, причем один из группы в m элементов, а другой из группы в n элементов, то сделать это можно  m•n способами.

Пример:

В гардеробе у Маши 10 футболок и 5 шорт. Сколько комплектов Маше можно составить из данной одежды.

Ответ:  5•10=50 комплектов.

Расширенное правило произведения: если существуют n обособленных групп элементов(допустим, в первой m1 элемент, во второй m2 элемента, ... в последней mn элементов) и из каждой такой группы нужно выбрать по одному элементу для составления новой комбинации элементов, то это можно сделать m1•m2•m3•...m способами.

Пример:

У Маши 7 вечерних нарядов, 5 туфель и 6 сумок. Все они идеально подходят друг к другу.  Сколько комплектов можно составить из данной одежды.

Ответ:  7•5•6=210 комплектов.

Читать дальше

Загадка Леонарда Эйлера.

Эйлер родился 15 апреля 1707 года. Подсчитайте сколько бы ему сейчас исполнилось лет и напишите в комментариях.

Леонарду Эйлеру поставлено множество памятников. Его имя носят институты, улицы, научные награды. В его честь отпечатаны марки и монеты, названы астероид и кратер на Луне. Но пожалуй самый оригинальный памятник ученому можно встретить в детских тетрадках. Школьники ведь часто пытаются решить известные задачи: как шахматным конем пройтись по всем клеткам нарисованного квадрата, не проходя через одну и ту же клетку дважды, или как аналогичным образом перейти несколько рек по нескольким мостам. При этом они часто даже не догадываются, что загадал эти задачи, и не только загадал, но и нашел почти три столетия назад исчерпывающий алгоритм их решения, великий русский математик Леонард Эйлер. Давайте рассмотри одну из них более подробно.

Издавна среди жителей Кёнигсберга была распространена такая загадка : как пройти по всем мостам, не проходя ни по одному из них дважды? Многие кёнигсбержцы пытались решить эту задачу, как теоретически, так и практически, во время прогулок. Но никому это не удавалось, однако доказать, что это даже теоретически невозможно.

1016В 1736 году задача о семи мостах заинтересовала выдающегося математика, члена Петербургской академии наук Леонарда Эйлера, о чём он написал в письме итальянскому математику и инженеру Мариони от 13 марта 1736 года. В этом письме Эйлер пишет о том, что он смог найти правило, пользуясь которым легко определить, можно ли пройти по всем мостам, не проходя дважды ни по одному из них дважды, а сможете ли вы?

Жду ваших решений.

Читать дальше