Параллелограмм.

Параллелограмм — четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Свойства параллелограмма:

  1. В параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны.
  2. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
  3. Диагональ параллелограмма делит параллелограмм на два равных треугольника.
  4. Точка пересечения диагоналей — центр симметрии параллелограмма.
  5. Биссектриса любого угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
  6. Биссектрисы параллелограмма, проведенные из противоположных углов, параллельны.
  7. Биссектрисы параллелограмма, проведенные из соседних углов, перпендикулярны.
  8. Угол между высотами, проведенными из тупого угла параллелограмма, равен острому углу параллелограмма.
  9. Угол между высотами, проведенными из острого угла параллелограмма, равен тупому углу параллелограмма.
  10. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов сторон параллелограмма.
  11. Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180°.

Частные случаи параллелограмма: прямоугольник, квадрат, ромб. Следовательно, все эти фигуры обладают свойствами, присущими параллелограмму.

Прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы равны. 

Отличительное свойство прямоугольника: диагонали прямоугольника равны.

Ромб — параллелограмм, у которого все стороны равны.

Отличительное свойство ромба: диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

Квадрат — параллелограмм, у которого все стороны и углы равны.

Отличительное свойство квадрата: диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны и делят углы квадрата пополам.

Площадь параллелограмма:

  1. Площадь параллелограмма через сторону и высоту, проведенной к этой стороне: S=a·ha=b·hb.
  2. Площадь параллелограмма через стороны и угол между ними: S=a·b·sinφ.
  3. Площадь параллелограмма через диагонали и угол между ними: S=0,5·d1·d2·sinφ.
  4. Площадь параллелограмма через радиус вписанной окружности и сторону(верна только для параллелограмма, в который можно вписать окружность): S=2·a·r.
  5. Площадь параллелограмма через радиус вписанной окружности и угол между сторонами(верна только для параллелограмма, в который можно вписать окружность): S=4r2/sinφ.
Читать дальше

Формула включений и исключений.

Пусть |Ω| - общее количество объектов, а |Ai| - количество объектов, которые обладают свойством i, |A1∩A2| - количество объектов, обладающих свойствами 1 и 2,...,|A1∩...∩An| - количество объектов, обладающих свойствами 1,...,n. Тогда количество объектов, не обладающих ни одним из свойств равно:

Примеры решения задач

В летнем лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок, и хор. Сколько ребят не поют в хоре, не увлекаются спортом и не занимаются в драмкружке

Решение:

70-27-32-22+10+6+8-3=10.

Ответ: 10 ребят не поют в хоре, не увлекаются спортом и не занимаются в драмкружке.


Сколько существует натуральных чисел, не превосходящих 1000, которые не делятся ни на 3, ни на 5?

Решение:

Натуральное число, которое делится на 3 можно представить в виде: 3·n, где n - натуральное число. Следовательно, 333 числа делятся на 3.

Натуральное число, которое делится на 5 можно представить в виде: 5·n, где n - натуральное число. Следовательно, 200 чисел делятся на 5.

Натуральное число, которое делится и на 3 и на 5 можно представить в виде: 15·n, где n - натуральное число. Следовательно, 66 чисел делятся на и на 3 и на 5.

1000-333-200+66=533.

Ответ: 533 числа не делятся ни на 3, ни на 5.


Сколько существует натуральных чисел, не превосходящих 1000, которые не делятся ни на 5, ни на 7?

Решение:

Натуральных чисел, которые делятся на 5: 200.

Натуральных чисел, которые делятся на 7: 142.

Числа, которые делятся и на 5 и на 7: 28.

1000-200-142+28=686.

Ответ: 686 чисел, не превосходящих 1000, не делятся ни на 5, ни на 7.


Каждая сторона в треугольнике ABC разделена на 8 равных отрезков. Сколько существует различных треугольников с вершинами в точках деления (точки A, B, C не могут быть вершинами треугольников), у которых ни одна сторона не параллельна ни одной из сторон треугольника ABC?

Решение:

На каждой стороне треугольника 7 точек. Всего можно построить 73 треугольников. У 3·72 треугольников одна из сторон параллельна одной из сторон треугольника ABC, у 3·7 треугольников –  две стороны, у 1 треугольника –  все стороны.

73-3·72+3·7-1=343-147+21-1=216.

Ответ: 216 треугольников.


В классе 30 учеников. Сколькими способами они могут пересесть так, чтобы ни один не сел на своё место?

Решение:

Общее количество пересаживаний равно: 30!.

Количество пересаживаний, когда 1 ученик остается на своем месте равно: 29!·(30!/(30-1)!/1!)=29!·30.

Количество пересаживаний, когда 2 ученика остаются на своем месте равно: 28!·30!/(30-2)!/2!=28!·30·29/2!

...

Количество пересаживаний, когда 29 учеников остаются на своем месте равно: 1!·30!/(30-29)!/29!=30.

Количество пересаживаний, когда 30 учеников остаются на своем месте равно: 0!·30!/(30-30)!/30!=1.

30!-29!30+28!·30·29/2!-...-30+1=30!(1-1/1!+1/2!-...-1/29!+1/30!)=30!(1/2!-...-1/29!+1/30!).

Ответ: 30!(1/2!-...-1/29!+1/30!).

 

Читать дальше

Возведение в квадрат натурального числа, которое заканчивается на 5, в уме.

Чтобы возвести в квадрат число, которое заканчивается на 5, можно воспользоваться следующим алгоритмом:

  1. Отбросить у числа последнюю цифру справа;
  2. Умножить полученное число на последующее за ним число в ряду натуральных чисел;
  3. К полученному в пункте 2 числу приписать справа 25.

Пример:

1052=10·(10+1)25=11025

252=2·(3)25=625

Читать дальше