Формула включений и исключений.

Пусть |Ω| - общее количество объектов, а |Ai| - количество объектов, которые обладают свойством i, |A1∩A2| - количество объектов, обладающих свойствами 1 и 2,...,|A1∩...∩An| - количество объектов, обладающих свойствами 1,...,n. Тогда количество объектов, не обладающих ни одним из свойств равно:

Примеры решения задач

В летнем лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок, и хор. Сколько ребят не поют в хоре, не увлекаются спортом и не занимаются в драмкружке

Решение:

70-27-32-22+10+6+8-3=10.

Ответ: 10 ребят не поют в хоре, не увлекаются спортом и не занимаются в драмкружке.


Сколько существует натуральных чисел, не превосходящих 1000, которые не делятся ни на 3, ни на 5?

Решение:

Натуральное число, которое делится на 3 можно представить в виде: 3·n, где n - натуральное число. Следовательно, 333 числа делятся на 3.

Натуральное число, которое делится на 5 можно представить в виде: 5·n, где n - натуральное число. Следовательно, 200 чисел делятся на 5.

Натуральное число, которое делится и на 3 и на 5 можно представить в виде: 15·n, где n - натуральное число. Следовательно, 66 чисел делятся на и на 3 и на 5.

1000-333-200+66=533.

Ответ: 533 числа не делятся ни на 3, ни на 5.


Сколько существует натуральных чисел, не превосходящих 1000, которые не делятся ни на 5, ни на 7?

Решение:

Натуральных чисел, которые делятся на 5: 200.

Натуральных чисел, которые делятся на 7: 142.

Числа, которые делятся и на 5 и на 7: 28.

1000-200-142+28=686.

Ответ: 686 чисел, не превосходящих 1000, не делятся ни на 5, ни на 7.


Каждая сторона в треугольнике ABC разделена на 8 равных отрезков. Сколько существует различных треугольников с вершинами в точках деления (точки A, B, C не могут быть вершинами треугольников), у которых ни одна сторона не параллельна ни одной из сторон треугольника ABC?

Решение:

На каждой стороне треугольника 7 точек. Всего можно построить 73 треугольников. У 3·72 треугольников одна из сторон параллельна одной из сторон треугольника ABC, у 3·7 треугольников –  две стороны, у 1 треугольника –  все стороны.

73-3·72+3·7-1=343-147+21-1=216.

Ответ: 216 треугольников.


В классе 30 учеников. Сколькими способами они могут пересесть так, чтобы ни один не сел на своё место?

Решение:

Общее количество пересаживаний равно: 30!.

Количество пересаживаний, когда 1 ученик остается на своем месте равно: 29!·(30!/(30-1)!/1!)=29!·30.

Количество пересаживаний, когда 2 ученика остаются на своем месте равно: 28!·30!/(30-2)!/2!=28!·30·29/2!

...

Количество пересаживаний, когда 29 учеников остаются на своем месте равно: 1!·30!/(30-29)!/29!=30.

Количество пересаживаний, когда 30 учеников остаются на своем месте равно: 0!·30!/(30-30)!/30!=1.

30!-29!30+28!·30·29/2!-...-30+1=30!(1-1/1!+1/2!-...-1/29!+1/30!)=30!(1/2!-...-1/29!+1/30!).

Ответ: 30!(1/2!-...-1/29!+1/30!).

 

Читать дальше

Возведение в квадрат натурального числа, которое заканчивается на 5, в уме.

Чтобы возвести в квадрат число, которое заканчивается на 5, можно воспользоваться следующим алгоритмом:

  1. Отбросить у числа последнюю цифру справа;
  2. Умножить полученное число на последующее за ним число в ряду натуральных чисел;
  3. К полученному в пункте 2 числу приписать справа 25.

Пример:

1052=10·(10+1)25=11025

252=2·(3)25=625

Читать дальше

Умножение на 11 двузначного и трехзначного числа.

Алгоритм умножения на 11 двузначного числа:

  1. Сосчитайте сумму цифр двузначного числа;
  2. Если сумма цифр двузначного числа больше 10, то к первой цифре исходного числа прибавьте 1, а от суммы отнимите 10;
  3. Запишите ответ в виде: первая цифра исходного числа, сумма цифр исходного числа, вторая цифра исходного числа.

Пример:

23·11=2(2+3)3=253

59·11=(5+1)(5+9-10)9=649

Алгоритм умножения на 11 трехзначного числа:

  1. Найдите сумму 1 и 2 цифры исходного числа(A) и 2 и 3 цифры исходного числа(B);
  2. Если B>10, то к A прибавьте 1, а из B вычтите 10. Если A>10, то к первой цифре исходного числа прибавьте 1, а из А вычтите 10;
  3. Запишите ответ в виде: первая цифра, A, B, последняя цифра.

Пример:

333·11=3(3+3)(3+3)3=3663

234·11=2(2+3)(3+4)4=2574

689·11=(6+1)(6+8+1-10)(8+9-10)9=7579

999·11=(9+1)(9+9-10+1)(9+9-10)9=10989

Читать дальше

Экономическая задача. ЕГЭ 1.06.2018.

Вариант 1

15-го декабря планируется взять кредит в банке на 21 месяц. Условия возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й долг должен быть на 30 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

— к 15-му числу 21-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1604 тысяч рублей?


Решение

Пусть S тысяч рублей - сумма, которую взяли в кредит.

1 2 3 ... 20 21
Долг  до начисления процентов

(тыс. руб.)

S S-30 S-90 S-570 S-600
Процент

(тыс. руб.)

0,03S (S-30)0,03 (S-90)0,03 (S-570)0,03 (S-600)0,03
Выплаты

(тыс. руб.)

30+0,03S 30 +(S-30)0,03 30 +(S-90)0,03 30+(S-570)0,03 S-600+(S-600)0,03

Всего выплатили 1604 тысяч рублей. Составим и решим уравнение:

30+0,03S+30+(S-30)0,03+30+(S-90)0,03+...+30+(S-570)0,03+S-600+(S-600)0,03=1604

600+1,63S-0,03(30+90+...+570+600)-600=1604

1,63S=1604+0,03(30+600)10

1,63S=1604+189

1,63S=1793

S=1100

Ответ: 1100 тысяч рублей.


Вариант 2

15-го декабря планируется взят кредит в банке на 1 000 000 рублей на (n+1) месяц. Условия его возврата таковы:

—1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;

—cо 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

—15-го числа каждого месяца с 1-го по n-й долг должен быть на 40 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

—15-го числа n-го месяца долг составит 200 тысяч рублей;

—к 15-му числу (n + 1)-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Найдите r, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1378 тысяч рублей.


Решение

Найдем количество месяцев, на которые был взят кредит:

1000-40n-200=0

40n=800

n=20

1 2 3 ... 20 21
Долг  до начисления процентов

(тыс. руб.)

1000 960 920 240 200
Процент

(тыс. руб.)

1000r/100 960r/100 920r/100 240r/100 200r/100
Выплаты

(тыс. руб.)

40+1000r/100 40 +960r/100 40+920r/100 40+240r/100 200r/100+200

Всего выплатили 1378 тысяч рублей. Составим и решим уравнение:

40+1000r/100+40+960r/100+40+920r/100+...+40+240r/100+200r/100+200=1378

800+r/100(1000+960+920+...240+200)+200=1378

12600r/100=378

r=3

Ответ: 3%.

Читать дальше