Формула полной вероятности.

Рассмотрим n попарно несовместных событий H1,H2,...,Hn, для которых известны вероятности P(Hi)≠0 и событие A⊂H1+H2+...+Hn, причем известны условные вероятности P(A/Hi). Вероятность события A определяется формулой P(A)=∑P(Hi)P(A/Hi).

Эта формула называется формулой полной вероятности. События H1,H2,...,Hn называют гипотезами.

Пример: Имеются три урны с шарами. В первой находится 5 голубых и 3 красных шара, во второй - 4 голубых и 4 красных, в третьей - 8 голубых. Наугад выбирается одна из урн и из нее наугад извлекается шар. Какова вероятность того, что он окажется красным (событие А).

Решение:
Воспользуемся формулой полной вероятности. Шар может быть извлечен из первой урны, либо из второй, либо из третьей. Обозначим через H1, H2, H3 соответственно выбор первой, второй и третьей урны. Поскольку имеются одинаковые шансы выбрать любую из урн, то P(H1)=P(H2)=P(H3)=1/3.

В каждой урне по 8 шаров. В первой урне 3 красных шара, значит вероятность вынуть из первой урны красный шар равна 3/8. Во второй урне 4 красных шара, значит вероятность вынуть из второй урны красный шар равна 4/8. В третьей урне нет красных шаров, значит вероятность достать из третьей урны красный шар равна 0.

В соответствии с формулой находим искомую вероятность

P(A)=1/3·(3/8+4/8+0)=7/24=0,292.

Ответ: 0,292.

Читать дальше

Сложение и умножение вероятностей.

Спортсмен стреляет по мишени, разделенной на 2 сектора. Вероятность попадания в первый сектор равна 0,4, а во второй - 0,3. Какова вероятность попадания либо в первый, либо во второй сектор?

Чтобы решить данную задачу, нужно знать принципы сложения вероятностей. Событие "попадание в первый сектор" и "попадание во второй сектор" несовместны, так как попадание в 1 сектор исключает попадание во второй.

Так как в вопросе союз либо, значит нужно найти сумму вероятностей двух событий. Суммой, или объединением, двух событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из них.

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

P(A+B)=P(A)+P(B).

Следовательно, P(A+B)=0,3+0,4=0,7.

Представим другую ситуацию: 2 спортсмена стреляют по 1 выстрелу в 1 мишень.

Вероятность попадания в мишень для первого спортсмена равна 0,3, а для второго - 0,4. Спортсмены независимо друг от друга сделали по одному выстрелу. Найти вероятность того, что в мишень попадет хотя бы один спортсмен?

События "попадание первого спортсмена" и "попадание второго спортсмена" совместны, так как попадание первого спортсмена не исключает попадание второго. Нужно найти вероятность, что в мишень попадет хотя бы один спортсмен. Значит, мы опять имеем дело с суммой вероятностей.  Введем обозначения: A="попадание первого спортсмена" и B="попадание второго спортсмена".

Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).

Так как события A и B независимы друг от друга, то для них верна формула произведения двух независимых событий:

P(AB)=P(A)P(B).

В общем случае, вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

P(A1...An)=P(A1)P(A2)...P(An).

Подставим значения и решим задачу: P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0,3+0,4+0,3•0,4=0,82.

Сверху рассматривалась формула произведения вероятностей независимых событий, а что же делать, если события зависимы?

Вероятность произведения двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло:

P(AB)=P(A)P(B/A)   или   P(AB)=P(B)P(A/B).

Событие B не зависит от события A, если P(B/A)=P(B), т.е. вероятность события B не зависит от того, произошло ли событие A.

Вероятность произведения n событий равна произведению одного из них на условные вероятности всех остальных, вычисленные в предположении, что все предыдущие события наступили:

P(A1...An)=P(A1)P(A2/A1)P(A3/A2A1)...P(An/A1...An-1).

Рассмотрим следующий пример:

В урне 6 голубых, 5 красных и 4 белых шара. Из урны поочередно извлекают шар, не возвращая его обратно. Найти вероятность того, что при первом извлечении появится голубой шар(событие G), при втором - красный(событие R), при третьем - белый(событие W).

Решение: 

Вероятность появления голубого шара при первом извлечении равна 6/(6+5+4)=6/15=2/5.

Вероятность появления красного шара во втором извлечении, вычисленная в предположении, что первым достали голубой шар, равна 5/(15-1)=5/14.

Вероятность появления белого шара, при условии, что 1 голубой и 1 красный уже достали, равна 4/(15-2)=4/13.

Так как нам нужно, чтобы все эти 3 события были истинны, то воспользуемся формулой произведения вероятностей.

P(G,R,W)=P(G)P(R/G)P(W/GR)=(2/5)(5/14)(4/13)=40/910≈0,044

Ответ: 0,044.

Замечание:

Вычисление вероятности суммы событий можно свести к вычислению вероятности произведения противоположных событий по формуле:

P(A1+A2+...+An )=1-P(B1·B2·...·Bn ),

где B1,B2,...,Bn - это противоположные события событиям A1,A2,...,An.

В частности, если события A1,A2,...,Aнезависимы, то

P(A1+A2+...+An )=1-q1q2...qn.

Если независимые события A1,A2,...,An имеют одинаковую вероятность, равную p, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий выражается формулой P(A1+A2+...+An )=1-qn.

Решим задачу:

Вероятность попадания в цель при стрельбе из трех орудий таковы: p1=0,75, p2=0,3, p3=0,7. Какова вероятность хотя бы одного попадания при одном залпе из всех этих орудий?

Решение: 

События "попадание из первого орудия"(A1), "попадание из второго орудия"(A2) и "попадание из третьего орудия"(A3) независимы в совокупности, так как вероятность попадания в цель из одного орудия не зависит от попадания в цель из других орудий.

Искомую вероятность найдем, подставив значения в формулу: P(A1+A2+A3 )=1-q1q2q3. Для того, чтобы её использовать, нужно найти вероятности событий, противоположных событиям A1,A2,A3.

q1=1-A1=1-0,75=0,25,
q2=1-A2=1-0,3=0,7,
q3=1-A3=1-0,7=0,3.

Подставляя в формулу найденные значения q1, q2, q3, находим P(A1+A2+A3 )=1-q1q2q3=1-0,25·0,7·0,3=0,9475.

Ответ: 0,9475.

В данной статье были рассмотрены на конкретных примерах теоремы сложения и умножения вероятностей. В частности: теоремы сложения вероятностей совместных, несовместных событий; теоремы произведения независимых и зависимых событий.

Проведена связь между вероятностью сложения событий и вероятностью произведения противоположных этим событиям событий.

 

 

Читать дальше

Формула Бернулли.

Производятся испытания, в каждом из которых может появиться событие A или не появиться событие A. Если вероятность события A в одном испытании не зависит от появления его в любом другом, то испытания называются независимыми относительно события A.

Пример независимых событий:

  • бросание монеты, кубика,
  • стрельба по мишени.

Пусть вероятность появления события A в каждом опыте постоянна и равна р. Тогда вероятность того, что в n независимых испытаниях событие A появится ровно k раз, рассчитывается по формуле:

где Cnk — число сочетаний, q = 1 − p.

Примеры:

  1. Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Что вероятнее: выиграть 1 партию из 2 или 2 партии из 4 (ничьи во внимание не принимаются).
    Решение: Поскольку играют равносильные шахматисты, то вероятность выигрыша равна 0,5. Пусть A - это событие выигрыша 1 партии из двух, а B - это событие выигрыша 2 партий из 4.Пользуясь формулой Бернулли, находим вероятности:

    1. P(A)=2!•0,5•0,5=0,5,
    2. P(B)=4!/(2!(4-2)!)•0,52•0,52=(24/4)•0,25•0,25=0,375.

    Так как P(A)>P(B), то вероятней всего выиграть 1 партию из 2, чем 1 партию из 4.

  2. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для стрелка равна 0,7 и не зависит от номера выстрела. Найти вероятность того, что при 4 выстрелах произойдет ровно 3 попадания в мишень.
    Решение:Пользуясь формулой Бернулли, находим вероятность:P4(3)=4!/3!•0,73•0,3=0,4116
  3. Подбрасывается 5 симметричных монет. Найти вероятность, что выпало ровно 2 герба.
    Решение: В данном случае p=q=0,5.Пользуясь формулой Бернулли, находим вероятность:P5(2)=5!/3!/2!•0,52•0,53=0,3125.
Читать дальше

Загадка Леонарда Эйлера.

Эйлер родился 15 апреля 1707 года. Подсчитайте сколько бы ему сейчас исполнилось лет и напишите в комментариях.

Леонарду Эйлеру поставлено множество памятников. Его имя носят институты, улицы, научные награды. В его честь отпечатаны марки и монеты, названы астероид и кратер на Луне. Но пожалуй самый оригинальный памятник ученому можно встретить в детских тетрадках. Школьники ведь часто пытаются решить известные задачи: как шахматным конем пройтись по всем клеткам нарисованного квадрата, не проходя через одну и ту же клетку дважды, или как аналогичным образом перейти несколько рек по нескольким мостам. При этом они часто даже не догадываются, что загадал эти задачи, и не только загадал, но и нашел почти три столетия назад исчерпывающий алгоритм их решения, великий русский математик Леонард Эйлер. Давайте рассмотри одну из них более подробно.

Издавна среди жителей Кёнигсберга была распространена такая загадка : как пройти по всем мостам, не проходя ни по одному из них дважды? Многие кёнигсбержцы пытались решить эту задачу, как теоретически, так и практически, во время прогулок. Но никому это не удавалось, однако доказать, что это даже теоретически невозможно.

1016В 1736 году задача о семи мостах заинтересовала выдающегося математика, члена Петербургской академии наук Леонарда Эйлера, о чём он написал в письме итальянскому математику и инженеру Мариони от 13 марта 1736 года. В этом письме Эйлер пишет о том, что он смог найти правило, пользуясь которым легко определить, можно ли пройти по всем мостам, не проходя дважды ни по одному из них дважды, а сможете ли вы?

Жду ваших решений.

Читать дальше