Схема Горнера

Схема Горнера — схема, с помощью которой можно разделить многочлен  на бином x-x0Данная схема очень часто упрощает решение уравнений, если известен какой-нибудь целочисленный корень уравнения.

Алгоритм вычисления по схеме Горнера:

  1. Заполняем таблицу, количество столбцов которой на 2 больше, чем степень исходного многочлена;
  2. Начиная со второй ячейки первой строки записываем коэффициенты исходного многочлена, предварительно записанного в стандартном виде;
  3. В первую ячейку второй строки записываем потенциальный корень многочлена(x0);
  4. Под первым коэффициентом делимого а0 во второй строчке пишется ещё раз этот коэффициент;
  5. Под коэффициентом а1 пишется число b1=а1+b0·x0;
  6. Под коэффициентом аn пишется число bn=аn+bn-1x0;

В последней ячейке второй строки должен получиться остаток от деления многочлена на бином x-x0. Если он равен нулю, то исходный многочлен делится без остатка на бином x-x0.  Из заполненной таблицы по схеме Горнера, можно выписать и неполное частное при делении многочлена на бином x-x0. Коэффициенты неполного частного берутся из второй строки.

Рассмотрим пример. Решить уравнение  3x4-6x3+2x2+2x-1=0.

1. Подбираем корень уравнения.

Потенциальными корнями уравнения могут быть делители свободного члена: -1, 1.

Подставим 1 в исходное уравнение вместо х: 3·14-6·13+2·12+2·1-1=3-6+2+2-1=-3+4-1=0. Следовательно, x=1 — корень уравнения.

2. Заполним схему Горнера.

3 -6 2 2 -1
1 3 -3=-6+1·3 -1=2+1·(-3) 1=2+1·(-1) 0=-1+1·1

Следовательно, уравнение можно записать в виде: (x-1)(3x3-3x2-x+1)=0. Попытаемся разложить на множители многочлен 3x3-3x2-x+1. 

3 -3 -1 1
1 3 0=-3+1·3 -1=-1+1·0 0=1+1·(-1)

Получаем, 3x4-6x3+2x2+2x-1=(x-1)(3x3-3x2-x+1)=(x-1)(x-1)(3x2-1).

Уравнение 3x4-6x3+2x2+2x-1=0 имеет корни: 1, 1/√3, -1/√3.

 

 

Читать дальше

Задание 23. ОГЭ. Гипербола.

По­строй­те гра­фик функ­ции и опре­де­ли­те, при каких зна­че­ни­ях k пря­мая y=kx имеет с гра­фи­ком ровно одну общую точку.

Решение:

Преобразуем функцию. Для этого разложим знаменатель на множители:

Область определения функции:

Найдем ординату выколотой точки, учитывая, что абсцисса выколотой точки равна 0,5y=-1/0,5=-2.

Функция: обратная пропорциональность.

График функции: гипербола, расположенная во II и IV координатных четвертях, с выколотой точкой (0,5;-2).

Построим график функции:

x -2 -1 -0,5 0,5 1 2
y 0,5 1 2 -2 -1 -0,5

y=kx – линейная функция, график которой прямая, проходящая через начало координат.

График функции y=kx будет иметь с графиком данной обратной пропорциональности общую точку тогда и только тогда, когда будет проходить через выколотую точку (0,5;-2).

Найдем значение k:

y=k·x

-2=k·0,5

k=-4.

Ответ: k=-4.

 

Задачи для самостоятельного решения:

По­строй­те гра­фик функ­ции и опре­де­ли­те, при каких зна­че­ни­ях k пря­мая y=kx имеет с гра­фи­ком ровно одну общую точку:

а) 

б) 

 

Читать дальше

Задание 22. ОГЭ. Средняя скорость.

Чтобы найти среднюю скорость движения, необходимо все расстояние разделить на все время движения.

Задача 1. Первые 105 км автомобиль ехал со скоростью 35 км/ч, следующие 120 км – со скоростью 60 км/ч, а последние 500 км – со скоростью 100 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

Решение:

Найдём время движения автомобиля:

1. 105:35=3(ч) - время, за которое автомобиль проехал 105 км со скоростью 35 км/ч.

2. 120:60=2(ч) - время, за которое автомобиль проехал 120 км со скоростью 60 км/ч.

3. 500:100=5(ч) - время, за которое автомобиль проехал 500 км со скоростью 100 км/ч.

4. 3+2+5=10(ч) - время движения автомобиля.

Найдём расстояние, которое проехал автомобиль:

5. 105+120+500=725(км).

Найдём среднюю скорость автомобиля:

6. 725:10=72,5(км/ч).

Ответ: средняя скорость автомобиля равна 72,5 км/ч.

Задача 2. Первую половину трассы автомобиль проехал со скоростью 55 км/ч, а вторую – со скоростью 70 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

Решение: 

Пусть автомобиль проехал Х км.

Найдём время движения автомобиля:

1. Х/110(ч) - время, за которое автомобиль проехал Х/2 км со скоростью 55 км/ч.

2. Х/140(ч) - время, за которое автомобиль проехал Х/2 км со скоростью 70 км/ч.

Найдем среднюю скорость:

Х/(Х/110+Х/140)=Х/(250Х/(110·140))=61,6 км/ч.

Ответ: 61,6 км/ч.

Задачи для самостоятельного решения:

1. Первые 200 км автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующие 320 км – со скоростью 80 км/ч, а последние 140 км – со скоростью 35 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

2. Первые 140 км автомобиль ехал со скоростью 70 км/ч, следующие 180 км – со скоростью 60 км/ч, а последние 225 км – со скоростью 45 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

3. Первую половину трассы автомобиль проехал со скоростью 65 км/ч, а вторую половину трассы со скоростью 35 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

 

Читать дальше

Задание 22. ОГЭ. Нахождение длины поезда.

Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 26 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего параллельно путям со скоростью 4 км/ч навстречу поезду, за 90 секунд. Найдите длину поезда в метрах. 

Решение:

1. 26+4=30(км/ч) - скорость сближения поезда и пешехода, так как они движутся в разных направлениях.

2. 90/3600=1/40(ч) - время, за которое поезд проезжает мимо пешехода.

3. 30/40=0,75(км) - длина поезда в километрах.

4. 0,75·1000=750(м) - длина поезда в метрах.

Ответ: длина поезда 750 метров.

Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 62 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего в том же направлении параллельно путям со скоростью 2 км/ч, за 33 секунды. Найдите длину поезда в метрах. 

Решение:

1. 62-2=60(км/ч) - скорость сближения, так как пешеход и поезд движутся в одном направлении.

2. 33/3600=11/1200(ч) - время, за которое поезд проезжает мимо пешехода.

3. 60·11/1200=11/20(км) - длина поезда в километрах.

4. 11/20·1000=50·11=550(м) - длина поезда в метрах

Ответ: длина поезда 550 метров.

Задачи для самостоятельного решения:

1. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 141 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего в том же направлении параллельно путям со скоростью 6 км/ч, за 8 секунд. Найдите длину поезда в метрах.

2. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 36 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего параллельно путям со скоростью 4км/ч навстречу поезду, за 54 секунды. Найдите длину поезда в метрах.

Читать дальше