Инцентр треугольника.

Инцентр — точка пересечения биссектрис треугольника. Инцентр является центром вписанной окружности.

Инцентр треугольника. 6

Свойства:

  1. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
  2. Инцентр находится на одинаковом расстоянии от всех сторон треугольника.
  3. Инцентр делит биссектрису угла A треугольника ABC в отношении: (AB+AC)/BC.
Читать далее

Центроид треугольника.

Центроид треугольника — точка пересечения медиан треугольника.

Центроид треугольника. 7

Свойства:

  1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке;
  2. Точка пересечения медиан треугольника делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины;
  3. Центроид лежит на прямой, соединяющей ортоцентр и центр описанной окружности, и делит его в отношении 2:1;
  4. Три отрезка, соединяющие вершины треугольника с центроидом, делят треугольник на три равновеликих треугольника;
  5. Три отрезка, соединяющие середины сторон треугольника с центроидом, делят треугольник на три равновеликих четырехугольника.
Читать далее

Вневписанная окружность треугольника.

Определение.

Окружность, касающаяся стороны треугольника и продолжения двух других его сторон, называется вневписанной окружностью треугольника.

Вневписанная окружность треугольника. 8

Теорема 1.

Центр окружности, вневписанной в треугольник, есть точка пересечения биссектрис двух внешних и одного внутреннего угла треугольника.

Вневписанная окружность треугольника. 9

Доказательство.

BF — биссектриса ∠JBG, следовательно F равноудалена от сторон данного угла.

СF — биссектриса ∠JСH, следовательно F равноудалена от сторон данного угла.

Следовательно, точка F равноудалена от сторон ∠BAC.

Таким образом, точка F — центр окружности, касающейся стороны BC и продолжения сторон AB и AC. По определению данная окружность называется вневписанной окружностью треугольника.

Теорема 2. 

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой касания вневписанной окружности и противолежащей стороны, делит треугольник на два треугольника равного периметра.

Вневписанная окружность треугольника. 10

Доказательство.

BJ=BG, GC=CH и AJ=AH (свойство отрезков касательных, проведенных из одной точки к окружности).

PΔABC=AB+BC+AC=AB+BG+GC+AC=AB+BJ+AC+CH=AJ+AH.

Так как AJ=AH, то PΔABC/2=AJ=AH и PΔABC/2+AG=AJ+AG=AH+AG=AB+BG+GA=AC+CG+GA.

Следовательно, отрезок AG поделил треугольник ABC на два треугольника равного периметра PΔABC/2+AG.

Советую прочитать:

  1. Площадь треугольника через радиус вневписанной окружности;
  2. Лемма о трезубце.
Читать далее

Ортоцентр.

Ортоцентр — точка пересечения прямых, содержащих высоты треугольника.

Ортоцентр. 11

Ортоцентр остроугольного треугольника лежит внутри треугольника.

Ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла.

Ортоцентр тупоугольного треугольника лежит вне треугольника.

Свойства:

  1. Точка, симметричная ортоцентру относительно стороны треугольника, лежит на описанной около него окружности.
    Ортоцентр. 12
  2. Точка, симметричная ортоцентру относительно середины стороны треугольника, лежит на описанной окружности и диаметрально противоположна вершине треугольника, противолежащей стороне.
  3. Расстояние от вершины треугольника до ортоцентра в два раза больше расстояния от центра описанной окружности до противолежащей стороны.
    Ортоцентр. 13
  4. Сумма квадратов расстояния от вершины треугольника до ортоцентра и длины стороны, противолежащей этой вершине, равна квадрату диаметра описанной окружности.
  5. Радиус описанной окружности, проведенный к вершине треугольника, перпендикулярен соответствующей стороне ортотреугольника.
    Ортоцентр. 14
  6. При изогональном сопряжении ортоцентр переходит в центр описанной окружности.
    Ортоцентр. 15
  7. Ортоцентр в остроугольном треугольнике является инцентром ортотреугольника.
    Ортоцентр. 16
  8. Три отрезка прямых, соединяющих ортоцентр с вершинами остроугольного треугольника, разбивают его на три треугольника, имеющих равные радиусы описанных окружностей. При этом одинаковый радиус этих трех окружностей равен радиусу окружности, описанной около исходного остроугольного треугольника.
    Ортоцентр. 17
Читать далее