Лемма о трезубце.

Пусть продолжение биссектрисы BD треугольника ABC пересекает описанную окружность в точке M; O — центр окружности, вписанной в треугольник ABC; W — центр вневписанной окружности, касающейся стороны AC.

Тогда MA=MO=MC=MW.Лемма о трезубце. 1

 

Доказательство:

Пусть ∠BAC=2α, а ∠ABC=2β.

Следовательно, ∠BAO=∠OAC=α, а ∠ABO=∠OBC=β (центр вписанной окружности треугольника — точка пересечения биссектрис треугольника).

∠AOM=∠BAO+∠ABO=α+β (свойство внешнего угла Δ ABO).

∠OAM=∠OAC+∠CAM=∠OAC+∠CBM=α+β (свойство вписанных углов, опирающихся на одну дугу).

Следовательно, ∠AOM=∠OAM. Δ MAO — равнобедренный, MA=MO.

Аналогично доказывается равенство: MO=MC.

Докажем, что MA=MW.

∠OAW=90° (угол между биссектрисами смежных углов).

∠AWM=90°-∠AOM (свойство острых углов прямоугольного треугольника)=90°-∠OAM=∠MAW.

Следовательно, ΔMAW — равнобедренный, MA=MW.

Вам будет интересно

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован.

:-[ (B) (^) (P) (@) (O) (D) :-S ;-( (C) (&) :-$ (E) (~) (K) (I) (L) (8) :-O (T) (G) (F) :-( (H) :-) (*) :-D (N) (Y) :-P (U) (W) ;-)