Теорема Вариньона.

Теорема. Середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма, стороны которого равны половинам диагоналей данного четырехугольника, а площадь — половине площади данного четырехугольника.

Пример.

Теорема Вариньона. 1

Доказательство.

HE — средняя линия треугольника ABD. Следовательно, HE||BD и HE=0,5·BD.

FG — средняя линия треугольника BCD. Следовательно, FG||BD и FG=0,5·BD.

Следовательно, отрезки HE и FG равны и параллельны, следовательно HEFGпараллелограмм.

Докажем, что площадь параллелограмма HEFG равна половине площади четырехугольника.

Пусть BD∩AC=O, тогда

SABCD=0,5·AC·BD·sin∠BOC

SHEFG=HG·HE·sin∠EHG

Пусть EH∩AC=K, тогда ∠BOC=∠EKC как соответственные углы при параллельных прямых HE и BD и секущей AC.

∠EKC=∠EHG как соответственные углы при параллельных прямых AC и HG и секущей EH.

Следовательно, ∠BOC=∠EHG.

SHEFG=HE·HG·sin∠EHG;

SHEFG=HE·HG·sin∠BOC;

SHEFG=0,5·AC·0,5·BD·sin∠BOC;

SHEFG=0,5·0,5·AC·BD·sin∠BOC;

SHEFG=0,5·SABCD.

Вам будет интересно

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован.

:-[ (B) (^) (P) (@) (O) (D) :-S ;-( (C) (&) :-$ (E) (~) (K) (I) (L) (8) :-O (T) (G) (F) :-( (H) :-) (*) :-D (N) (Y) :-P (U) (W) ;-)