Арифметическая прогрессия.

Определение

Арифметическая прогрессия — последовательность чисел, в которой каждое число, начиная со второго, получается из первого добавлением к нему постоянного числа. Данное постоянное число называют разностью арифметической прогрессии.

n-ый элемент арифметической прогрессии

Чтобы найти n-ый элемент, нужно к (n-1) элементу прибавить разность арифметической прогрессии.

    \[a_n=a_{n-1}+d,\]

где d — разность арифметической прогрессии, a_ii-ый элемент арифметической прогрессии.

Выразим n-ый элемент арифметической прогрессии через первый член и разность прогрессии.

    \[a_{2}=a_{1}+d\]

    \[a_{3}=a_{2}+d=a_1+d+d=a_1+2d\]

    \[a_{4}=a_{3}+d=a_1+2d+d=a_1+3d\]

    \[\ldots\]

Получаем, что

    \[a_n=a_1+d(n-1).\]

Пример 1. Найти 10-ый элемент арифметической прогрессии, если её первый элемент равен 2, а разность 0,5.

Решение. 

a_{10}=a_1+d(10-1)=2+0,5(10-1)=2+4,5=6,5.

Ответ: 6,5.

Пример 2. Найти разность арифметической прогрессии, если пятый элемент прогрессии равен 15, а 10-ый — 18-ти.

Решение.

    \[a_5=a_1+4d\]

    \[a_{10}=a_1+9d\]

Вычтем из второго уравнения первое: a_{10}-a_5=a_1-a_1+9d-4d.

d=\frac{a_{10}-a_5}{9-4}=\frac{18-15}{5}=\frac{3}{5}=0,6.

Ответ: 0,6.

Сумма арифметической прогрессии

Чтобы найти сумму первых n членов арифметической прогрессии можно воспользоваться следующими формулами:

    \[S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n;\]

    \[S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n.\]

Докажем первую формулу.

    \[S_n=a_1+a_2+a_3+a_4+\ldots+a_{n-3}+a_{n-2}+a_{n-1}+a_{n}\]

    \[S_n=a_{n}+a_{n-1}+a_{n-2}+a_{n-3}+\ldots+a_{4}+a_{3}+a_{2}+a_{1}\]

Сложим почленно два последних равенства.

Получаем,

    \[S_n+S_n=a_1+a_{n}+a_{2}+a_{n-1}+\ldots +a_2+a_{n-1}+a_1+a_n\]

Так как, a_k+a_{n-(k-1)}=a_1+d(k-1)+a_n-d(k-1)=a_1+a_n, то 2 \cdot S_n=(a_1+a_n) \cdot n.

Следовательно,

    \[S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n.\]

Пример 3. Найдите сумму натуральных чисел от 1 до 100.

Решение.

    \[1+2+3+\ldots+98+99+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)=101 \cdot 50=5050.\]

Ответ: 5050.

Пример 4. Первый элемент арифметической прогрессии равен 15, а разность арифметической прогрессии равна 2. Найдите сумму первых 10 элементов данной арифметической прогрессии.

Решение.

S_10=\frac{2 \cdot 15+2(10-1)}{2}\cdot 10 =(30+18)\cdot 5=48\cdot 5=240.

Ответ: 240.

Пример 5. Арине надо решить 270 задач по геометрии. Ежедневно она решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что в первый день она решила 10 задач, а в последний она запланировала решить 17 задач. Определите за сколько дней она решит все задачи.

Решение. Для решения задачи мы воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии:

    \[S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n.\]

По условии задачи: S_n=270, a_1=10, a_n=17. Надо найти n.

    \[270=\frac{10+17}{2}\cdot n;\]

    \[270=\frac{27}{2}\cdot n;\]

    \[n=20.\]

Ответ: 20.

Характеристическое свойство арифметической прогрессии

    \[a_{n}=\frac{a_{n-k}+a_{n+k}}{2}\]

Доказательство основывается на том, что

    \[a_{n-k}+a_{n+k}=a_n-d \cdot k+a_n+d \cdot k=2 \cdot a_n.\]

Пример 6. Выписано несколько последовательных членов арифметической прогрессии:

    \[…;10; x; 16; 19; … .\]

Найдите x.

Решение.

x=\frac{16+10}{2}=13

Ответ: 13.

 

Подписаться
Уведомление о
0 Комментарий
Inline Feedbacks
View all comments