Взаимное расположение двух плоскостей.

Две различные плоскости в пространстве либо параллельны, либо пересекаются.

Параллельность двух плоскостей

Определение. Две плоскости в пространстве называются параллельными, если они не пересекаются.

Признак параллельности плоскостей. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

Основные свойства параллельности плоскостей.

Линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны.
Отрезки параллельных прямых, заключённых между двумя параллельными плоскостями, равны по длине.

Пересечение двух плоскостей

Две плоскости пересекаются по прямой. Общая прямая двух плоскостей называется ребром двугранного угла, образованного при пересечении данных плоскостей. При пересечении двух плоскостей образуются четыре двугранных угла. Если все они равны, то плоскости называются перпендикулярными.

Признак перпендикулярности плоскостей. Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

Из признака перпендикулярности плоскостей следует, что плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей.

Угол между плоскостями — наименьший из двугранных углов, образованных при пересечении плоскостей.

Угловая величина двугранного угла — это величина линейного угла данного двугранного угла.

Чтобы найти линейный угол двугранного угла надо из произвольной точки на ребре двугранного угла провести в каждой плоскости по перпендикуляру к этому ребру. Все линейные углы двугранного угла равны друг другу.

Тренировочные задания

Дан куб $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ . Найдите угол между плоскостями $AD_{1}C_{1}$ и $A_{1}D_{1}C$ .
Дан куб $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ . Точка $K$ — середина ребра $C_{1}D_{1}$ . Найдите угол между плоскостями $KBA_{1}$ и $BCC_{1}$ .
В кубе $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ все рёбра равны $7$ . На его ребре $BB_{1}$ отмечена точка $K$ так, что $KB=3$ . Через точки $K$ и $C_{1}$ построена плоскость $\alpha$ , параллельная прямой $BD_{1}$ . Найдите угол наклона плоскости $\alpha$ к плоскости грани $BB_{1}C_{1}C$ .
Дана правильная треугольная призма $ABCA_{1}B_{1}C_{1}$ , у которой сторона основания равна $4$ , а боковое ребро равно $3$ . Через точки $A$ , $C_{1}$ и середину $T$ ребра $A_{1}B_{1}$ проведена плоскость. Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью ABC.
Все рёбра правильной треугольной призмы $ABCA_{1}B_{1}C_{1}$ имеют длину $8$ . Точки $M$ и $N$ — середины рёбер $AA_{1}$ и $A_{1}C_{1}$ соответственно. Найдите угол между плоскостями $BMN$ и $ABB1$ .
Основанием пирамиды $SABCD$ является прямоугольник $ABCD$ , в котором $BC=2AB$ . Диагонали прямоугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$ . Отрезок $SO$ является высотой пирамиды $SABCD$ . Из вершин $А$ и $С$ опущены перпендикуляры $А$ и $CQ$ на ребро $SB$ . Найдите двугранный угол пирамиды при ребре $SB$ , если $SB=BC$ .
В основании прямой призмы $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ лежит квадрат $ABCD$ со стороной $2$ , а высота призмы равна $1$ . Точка $E$ лежит на диагонали $BD_{1}$ , причём $BE=1$ . Найдите угол между плоскостью $A_{1}C_{1}E$ и плоскостью $ABC$ .