Схема Горнера.

Схема Горнера — схема, с помощью которой можно разделить многочлен  на бином x-x0Данная схема очень часто упрощает решение уравнений, если известен какой-нибудь целочисленный корень уравнения.

Алгоритм вычисления по схеме Горнера:

  1. Заполняем таблицу, количество столбцов которой на 2 больше, чем степень исходного многочлена;
  2. Начиная со второй ячейки первой строки записываем коэффициенты исходного многочлена, предварительно записанного в стандартном виде;
  3. В первую ячейку второй строки записываем потенциальный корень многочлена(x0);
  4. Под первым коэффициентом делимого а0 во второй строчке пишется ещё раз этот коэффициент;
  5. Под коэффициентом а1 пишется число b1=а1+b0·x0;
  6. Под коэффициентом аn пишется число bn=аn+bn-1x0;

В последней ячейке второй строки должен получиться остаток от деления многочлена на бином x-x0. Если он равен нулю, то исходный многочлен делится без остатка на бином x-x0.  Из заполненной таблицы по схеме Горнера, можно выписать и неполное частное при делении многочлена на бином x-x0. Коэффициенты неполного частного берутся из второй строки.

Рассмотрим пример. Решить уравнение  3x4-6x3+2x2+2x-1=0.

1. Подбираем корень уравнения.

Потенциальными корнями уравнения могут быть делители свободного члена: -1, 1.

Подставим 1 в исходное уравнение вместо х: 3·14-6·13+2·12+2·1-1=3-6+2+2-1=-3+4-1=0. Следовательно, x=1 — корень уравнения.

2. Заполним схему Горнера.

3 -6 2 2 -1
1 3 -3=-6+1·3 -1=2+1·(-3) 1=2+1·(-1) 0=-1+1·1

Следовательно, уравнение можно записать в виде: (x-1)(3x3-3x2-x+1)=0. Попытаемся разложить на множители многочлен 3x3-3x2-x+1. 

3 -3 -1 1
1 3 0=-3+1·3 -1=-1+1·0 0=1+1·(-1)

Получаем, 3x4-6x3+2x2+2x-1=(x-1)(3x3-3x2-x+1)=(x-1)(x-1)(3x2-1).

Уравнение 3x4-6x3+2x2+2x-1=0 имеет корни: 1, 1/√3, -1/√3.

 

 

Читать далее

Способы разложения многочлена на множители.

Вынесение общего множителя за скобки.

Пример:

10·x2+x=10·x·x+1·x=x(10·x+1).

Метод группировки.

Примеры:

а) 10-5x+(2-x)2=5(2-x)+(2-x)(2-x)=(2-x)(5+2-x).

б) x3+4x2-9x-36=x2(x+4)-9(x+4)=(x+4)(x2-9).

Использование формул сокращенного умножения.

a2+2ab+b= (a+b)2

a2-2ab+b= (a-b)2

a2-b2=(a-b)(a+b)

a3+3a2b+3ab2+b3=(a+b)3

a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)

a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)

Примеры: 

а) x2+6x-7=(x2+2·3x+32-32-7)=(x2+2·3x+32-16)=(x+3)2-16=(x+3)2-42=(x+3-4)(x+3+4)=(x-1)(x+7).

б) x4-(x-10)2=(x2-x+10)(x2+x-10).

 

Разложение на множители квадратного трехчлена.

Правило:

Если ax2+bx+c=0 имеет корни x1 и x2, то его можно записать в виде: ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2).

Пример:

Разложить на множители 2x2+5x-3

Решим уравнение 2x2+5x-3=0.

D=25+4·2·3=25+24=49

x=0,5 или x=-3

2x2+5x-3=2(x-0,5)(x-(-3))=2(x-0,5)(x+3).

 

 

Читать далее

Решение неполного квадратного уравнения.

Неполное квадратное уравнение – это уравнение вида ax2+bx+c=0, где a≠0, но b или c равняется нулю.

Следующая таблица, надеюсь, поможет вам в изучении неполных квадратных уравнений.

Вид неполного квадратного уравнения ax2+bx=0 ax2+c=0 ax2=0
Решение

Выносим x за скобку:

x(ax+b)=0

Переносим с вправо и делим на a:

x2=-с/a

Если -с/a<0, то корней нет, если  -с/a>0, то 

 Делим на a:

x2=0

x=0

Ответ 0; -b/a    0

 

 

Читать далее

Различные способы решения полного квадратного уравнения.

Полное квадратное уравнение – это уравнение вида ax2+bx+c=0, где a≠0, b≠0 и с≠0.

Рассмотрим различные способы решения полного квадратного уравнения.

 

1 способ "Метод выделения полного квадрата"

Пример:

Ответ: -1; 5.

 

2 способ "Дискриминант"

Общий случай: 

Если D>0, то

Если D=0, то 

Если D<0, то квадратное уравнение корней не имеет.

Пример:

Ответ: -2; 6.

Частный случай(если b четное число):

 

Если D1>0, то

Если D1=0, то

Если D1<0, то квадратное уравнение корней не имеет.

Пример: 

Ответ: 

 

3 способ "Теорема Виета"

Если квадратное уравнение ax2+bx+c=0 имеет корни x1 и x2, то выполняется следующая система:

Пример:

Ответ: 2; 7.

4 способ "Свойство коэффициентов"

Если a+b+c=0, то уравнение ax2+bx+c=0 имеет корни:

Пример:

Ответ: 1; 0,5.

 

 

Читать далее