Теорема о трёх перпендикулярах.

Прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна наклонной тогда и только тогда, когда она перпендикулярна проекции наклонной на эту плоскость.

Доказательство.

Пусть прямая l лежит в плоскости γ, a — наклонная, a′ — её проекция на плоскость γ, прямая h — перпендикуляр к γ. Так как прямая h⊥γ, то hl. Проведём через прямые a и a′ плоскость β.

Пусть l a′ . Тогда, поскольку lh, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости lβ, и, следовательно, la.

Обратно, если la, то, поскольку lh, имеем lβ, следовательно, la′.

Читать далее

Взаимное расположение прямой и плоскости.

Возможны три варианта взаимного расположения прямой и плоскости.

Прямая может быть параллельна плоскости, пересекать или принадлежать плоскости.

Параллельность прямой и плоскости.

Прямая и плоскость параллельны, если они не имеют общих точек.

Признак параллельности прямой и плоскости.
Если прямая a параллельна некоторой прямой, лежащей в плоскости, то прямая a параллельна этой плоскости.

Пересечение прямой и плоскости.

Прямая и плоскость пересекаются, если они имеют одну единственную общую точку, которую называют точкой пересечения прямой и плоскости.

Важным частным случаем пересечения прямой и плоскости является их перпендикулярность.

Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

Принадлежность прямой плоскости.

Прямая принадлежит плоскости, если каждая точка прямой принадлежит плоскости.

Читать далее

Взаимное расположение прямых в пространстве.

Две прямые в пространстве могут быть:

  • пересекающимися;
  • параллельными;
  • скрещивающимися.

Пересекающиеся прямые.

Две различные прямые называются пересекающимися, если они имеют общую точку.

Обозначение: ab=A (Прямые a и b пересекаются в точке A).

Угол между пересекающимися прямыми.
Угол между двумя пересекающимися прямыми – это мера меньшего из четырех углов, образованных этими прямыми.

При пересечении двух прямых образуются четыре угла. Если все углы равны друг другу, то прямые a и b называются перпендикулярными, и угол между этими прямыми равен 90°. Если не все углы равны друг другу, то углом между прямыми a и b является меньший из образованных углов.

Параллельные прямые.

Две различные прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Обозначение: a||b (Прямые a и b параллельны).

Параллельность обладает свойством транзитивности: две различные прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой.

Скрещивающиеся прямые.

Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Угол между скрещивающимися прямыми.
Пусть прямые a и b скрещиваются. Возьмем в пространстве произвольную точку N. Возможны два случая:

  1. Точка N не принадлежит ни прямой a, ни прямой b.
    Проведем через N прямую a', параллельную a, и прямую b', параллельную b. Прямые a' и b' пересекаются в точке N. Угол между прямыми a' и b' называется углом между прямыми a и b.
  2. Точка N принадлежит одной из прямых. Допустим, что Na. Проведем через точку N прямую b', параллельную b. Прямые a и b' пересекаются в точке N. Угол между прямыми a и b' называется углом между прямыми a и b.

Угол между скрещивающимися прямыми – это угол между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны заданным скрещивающимся прямым.

Читать далее

Геометрия на ОГЭ. Часть 1. Практические задачи по геометрии.

В видео разбираются следующие задачи:

  1. На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 2 м, а длинное плечо – 5 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 1 м?
  2. Проектор полностью освещает экран A высотой 100 см, расположенный на расстоянии 230 см от проектора. На каком наименьшем расстоянии (в см) от проектора нужно расположить экран B высотой 320 см, чтобы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными?
  3. На рисунке изображено колесо с пятью спицами. Сколько спиц в колесе, в котором угол между любыми соседними спицами равен 20°?
  4. Колесо имеет 30 спиц. Углы между соседними спицами равны. Найдите угол, который образуют две соседние спицы.
  5. Найдите угол, который образуют минутная и часовая стрелки часов в 13:00. Ответ дайте в градусах.
  6. Найдите угол, который минутная стрелка описывает за 16 минут. Ответ в градусах.
  7. Найдите длину лестницы, которую прислонили к дереву, если её верхний конец находится на высоте 3,5 м над землёй, а нижний отстоит от ствола дерева на 1,2 м. Ответ дайте в метрах.
  8. От столба к дому натянут провод длиной 17 м, который закреплён на стене дома на высоте 4 м от земли. Вычислите высоту столба, если расстояние от дома до столба равно 15 м. Ответ дайте в метрах.

 

Читать далее