Тренировочные работы для 7-ого класса.

Алгебра:

Тренировочная работа 1

Тренировочная работа 2

Тренировочная работа 3

Тренировочная работа 4

Тренировочная работа 5

Тренировочная работа 6

Тренировочная работа 7

Тренировочная работа 8

Тренировочная работа 9

Читать далее

Загадка Леонарда Эйлера.

Эйлер родился 15 апреля 1707 года. Подсчитайте сколько бы ему сейчас исполнилось лет и напишите в комментариях.

Леонарду Эйлеру поставлено множество памятников. Его имя носят институты, улицы, научные награды. В его честь отпечатаны марки и монеты, названы астероид и кратер на Луне. Но пожалуй самый оригинальный памятник ученому можно встретить в детских тетрадках. Школьники ведь часто пытаются решить известные задачи: как шахматным конем пройтись по всем клеткам нарисованного квадрата, не проходя через одну и ту же клетку дважды, или как аналогичным образом перейти несколько рек по нескольким мостам. При этом они часто даже не догадываются, что загадал эти задачи, и не только загадал, но и нашел почти три столетия назад исчерпывающий алгоритм их решения, великий русский математик Леонард Эйлер. Давайте рассмотри одну из них более подробно.

Издавна среди жителей Кёнигсберга была распространена такая загадка : как пройти по всем мостам, не проходя ни по одному из них дважды? Многие кёнигсбержцы пытались решить эту задачу, как теоретически, так и практически, во время прогулок. Но никому это не удавалось, однако доказать, что это даже теоретически невозможно.

1016В 1736 году задача о семи мостах заинтересовала выдающегося математика, члена Петербургской академии наук Леонарда Эйлера, о чём он написал в письме итальянскому математику и инженеру Мариони от 13 марта 1736 года. В этом письме Эйлер пишет о том, что он смог найти правило, пользуясь которым легко определить, можно ли пройти по всем мостам, не проходя дважды ни по одному из них дважды, а сможете ли вы?

Жду ваших решений.

Читать далее

Загадочный треугольник.

Математический софизм – утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки. Особенно часто в софизмах выполняют "запрещенные" действия или не учитываются условия применимости теорем, формул и правил. В Греции софистами называли ораторов - философов-учителей, задачей которых было научить своих учеников убедительно защитить любую точку зрения.

Рассмотрим популярный софизм "Загадочный треугольник".

Дан прямоугольный треугольник 13*5 клеток, составленный из четырёх фигур.

После перестановки фигур при визуальном сохранении изначальных пропорций появляется дополнительная, не занятая ни одной частью, клетка. Но мы же понимаем, что такого быть не может. Найдите ошибку. Ответ пишите в комментариях.

скачанные файлы

Читать далее

Признаки делимости.

Признак делимости — это правило, позволяющее быстро определить, является ли число кратным заранее заданному числу, без необходимости выполнять деление.

Признак делимости на 2

Если последняя цифра в записи натурального 02, 4, 6 или 8, то это число делится на 2 без остатка. Если последняя цифра натурального числа нечетная (1, 3, 5, 7, 9), то число на 2 без остатка не делится.

Примеры:

  • 87654 делится на 2, так как последняя цифра 4;
  • 876543 не делится на 2, так как последняя цифра 3.
Признак делимости на 4

Число делится на 4 тогда и только тогда, когда две последние цифры этого числа образуют число, которое делится на 4.

Примеры:

  • 3200 делится на 4, так как 0 делится на 4;
  • 4808 делится на 4, так как 8 делится на 4;
  • 3453 не делится на 4, так как 53 не делится на 4.
Признак делимости на 8

Число делится на 8 тогда и только тогда, когда три последние цифры этого числа образуют число, которое делится на 8.

Примеры:

  • 32800 делится на 8, так как 800 делится на 8;
  • 48043 не делится на, 8 так как 43  не делится на 8.
Примеры:

Признак делимости на 2n

Число делится на 2(n - натуральное число) тогда и только тогда, когда n последних цифр этого числа образуют число, которое делится на 2n.

Пример:

  • 45686400 делится на 16, так как 6400 делится на 16;
  • 67832000 делится на 32, так как 32000  делится на 32.
Признак деления натурального числа на 5

Натуральное число делится на 5 без остатка в том случае, если оно оканчивается на 0 или на 5.  Если последняя цифра натурального числа не 0 и не 5,  то число на 5 без остатка не делится.

Примеры:

  • 4560 делится на 5, так как оканчивается на 0;
  • 48043 не делится на 5, так как оканчивается на 3.
Признак деления натурального числа на 10

Натуральное число делится на 10 без остатка только в том случае, если оно оканчивается на нуль. Если последняя цифра натурального числа не 0, то число на 10 без остатка не делится.

Примеры:

  • 4560 делится на 10, так как оканчивается на 0;
  • 62не делится на 10, так как не оканчивается на 0.
Признак делимости на 3

Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма цифр этого числа делится на 3.

Примеры:

  • 345 делится на 3, так как 3+4+5=12 делится на 3;
  • 223 не делится на 3, так как 2+2+3=7 не делится на 3.
Признак делимости на 9

Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма цифр этого числа делится на 9.

Примеры:

  • 345 не делится на 9, так как 3+4+5=12  не делится на 9;
  • 65223 делится на 9, так как 6+5+2+2+3=18 делится на 9.
Признак делимости на 7

Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7.

Примеры:

  • 357 делится на 7, так как 35-2·7=21 делится на 7;
  • 223 не делится на 7, так как 22-2·3=16 не делится на 7.
Признак делимости на 11

Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма цифр, которые стоят на четных местах, равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах, либо отличается от неё на число, которое делится на 11.

Примеры:

  • 3597 делится на 11, так как 3+9=7+5;
  • 2243 не делится на 11, так как 2+4≠2+3.
 Признак делимости на 13

Число делится на 13 тогда и только тогда, когда сумма десятков и единиц увеличенных в 4 раза кратна 13.

Число делится на 13 тогда и только тогда, когда модуль разности числа, которое образовано тремя последними цифрами, и числа, которое образовано из оставшихся цифр, кратен 13.

Примеры:

  • 234 делится на 13, так как 23+4·4=39 делится на 13;
  • 4292288 делится на 13, так как 4292-288=4004, а 4-4=0 делится на 13.
Читать далее