Теорема Брахмагупты.

Теорема Брахмагупты. 1

Теорема.

Если вписанный четырехугольник имеет перпендикулярные диагонали, то прямая проходящая через точку пересечения диагоналей, перпендикулярно какой-нибудь стороне четырехугольника делит противоположную ей сторону пополам.

Доказательство.

Так как ∠EAD + ∠EDA=90º, ∠FEC + ∠FCE=90º(свойство прямоугольного треугольника) и ∠ADB=∠ACB (вписанные углы, опирающиеся на дугу AB), то ∠EAD=∠FEC.

∠FEC=∠AEG (свойство вертикальных углов).

Следовательно, треугольник GAE является равнобедренным.

Аналогично доказывается, что треугольник GED — равнобедренный.

Следовательно, AG=EG=GD

Читать далее

Теорема о бабочке.

Теорема.

Через E — середину хорды MN провели хорды AC и BD. Пусть AD∩MN=F, а BC∩MN=G. Тогда FE=EG.

Доказательство.

Проведем серединные перпендикуляры к хордам AD, BC и MN. Серединные перпендикуляры к сторонам любого треугольника (в том числе к сторонам треугольника ADC, DBC и BMN) пересекаются в одной точке, центре описанной окружности. Пусть KO, LO и EO серединные перпендикуляры к хордам AD, BC и МN.

Рассмотрим ΔADE и ΔBCE:

  1. ∠ADE=∠ECB (вписанные углы, опирающиеся на дугу AB);
  2. ∠AED=∠BEC (вертикальные углы).

Следовательно, ΔADE подобен ΔBCE и ∠AKE=∠BLE.

Рассмотрим четырехугольник KFEO:  ∠FKO+∠FEO=90°+90°=180°. Следовательно, четырехугольник KFEO вписанный в окружность и ∠FKE=∠FOE.

Рассмотрим четырехугольник EGLO:  ∠GEO+∠GLO=90°+90°=180°. Следовательно, четырехугольник EGLO вписанный в окружность и ∠ELG=∠EOG.

∠FOE=∠FKE=∠AKE=∠BLE=∠GLE=∠GOE.

Следовательно, ΔOFG — равнобедренный с основанием FG, так как OE является биссектрисой и высотой ΔOFG.

FE=EG, так как в равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию является также и медианой.

Читать далее

Теорема Птолемея.

Теорема Птолемея. 4

Теорема. Произведение диагоналей четырехугольника, вписанного в окружность, равно сумме произведений противоположных сторон этого четырехугольника.

Доказательство.

Отложим от луча СD угол DCK равный углу ACB. CK∩DB=E. 

Рассмотрим ΔDCE и ΔACB:

  1. ∠δ=∠γ (вписанные углы, опирающиеся на дугу BC);
  2. ∠ε=∠ζ (по построению).

Следовательно, ΔDCE подобен ΔACB по 2 углам.

DC/AC=DE/AB=CE/CB.

Выразим DE через AC, AB и DC: DE=(DC·AB)/AC (1).

Рассмотрим ΔDCA и ΔBCE :

  1. ∠α=∠β (вписанные углы, опирающиеся на дугу DC);
  2. ∠DCA=∠ECB (по построению).

Следовательно, ΔDCA подобен ΔECB по 2 углам.

DC/EC=DA/EB=CA/CB.

Выразим EB через AC, CB и DA: EB=(DA·CB)/AC (2).

Сложим почленно равенства (1) и (2):

DE+EB=(DC·AB+DA·CB)/AC;

DB=(DC·AB+DA·CB)/AC;

DB·AC=DC·AB+DA·CB.

Читать далее

Теорема Вариньона.

Теорема. Середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма, стороны которого равны половинам диагоналей данного четырехугольника, а площадь — половине площади данного четырехугольника.

Пример.

Теорема Вариньона. 5

Доказательство.

HE — средняя линия треугольника ABD. Следовательно, HE||BD и HE=0,5·BD.

FG — средняя линия треугольника BCD. Следовательно, FG||BD и FG=0,5·BD.

Следовательно, отрезки HE и FG равны и параллельны, следовательно HEFGпараллелограмм.

Докажем, что площадь параллелограмма HEFG равна половине площади четырехугольника.

Пусть BD∩AC=O, тогда

SABCD=0,5·AC·BD·sin∠BOC

SHEFG=HG·HE·sin∠EHG

Пусть EH∩AC=K, тогда ∠BOC=∠EKC как соответственные углы при параллельных прямых HE и BD и секущей AC.

∠EKC=∠EHG как соответственные углы при параллельных прямых AC и HG и секущей EH.

Следовательно, ∠BOC=∠EHG.

SHEFG=HE·HG·sin∠EHG;

SHEFG=HE·HG·sin∠BOC;

SHEFG=0,5·AC·0,5·BD·sin∠BOC;

SHEFG=0,5·0,5·AC·BD·sin∠BOC;

SHEFG=0,5·SABCD.

Читать далее