Метод рационализации.

Метод рационализации заключается в замене сложного выражения на равносильное ему более простое выражение на области определения исходного выражения при решении неравенств.

Выделим основные формулы перевода сложного выражения в более простое.

    \[\log_af(x)-\log_ag(x) \sim (a-1)(f(x)-g(x))\]

    \[a^{f(x)}-a^{g(x)}(a>0) \sim (a-1)(f(x)-g(x))\]

    \[\left | f(x) \right |-\left | g(x) \right | \sim f^2(x)-g^2(x)\]

Пример 1. \log_{x^2}\left |5x+2\right |<\frac{1}{2}

Решение.

Ограничение: x^2\neq 1, x \neq 0.

    \[\log_{x^2}\left |5x+2\right |<\frac{1}{2}\]

Представим \frac{1}{2} в виде логарифма по основанию x^2 и перенесем в левую часть:

    \[\log_{x^2}\left |5x+2\right |-\log_{x^2}\left |x \right |<0\]

    \[(x^2-1)(\left |5x+2\right |-\left |x \right |)<0\]

    \[(x-1)(x+1)(5x+2-x)(5x+2+x)<0\]

    \[(x-1)(x+1)(4x+2)(6x+2)<0\]

Используя метод интервалов и учитывая ограничение, получаем ответ:

    \[x \in (-1; -\frac{1}{2}) \cup (-\frac{1}{3}; 0) \cup (0; 1) .\]

Ответ:  (-1; -\frac{1}{2}) \cup (-\frac{1}{3}; 0) \cup (0; 1).

Пример 2.  x^2\log_{625}(x+2)\geq\log_{5}(x^2+4x+4)

Решение.

Ограничение: x+2>0

    \[x^2\log_{625}(x+2)\geq\log_{5}(x^2+4x+4)\]

    \[x^2\log_{5^4}(x+2)\geq\log_{5}(x+2)^2\]

    \[\frac{x^2}{4}\log_{5}(x+2)-2\log_{5}\left |x+2 \right |\geq 0\]

Так как x+2>0, то \left |x+2 \right |=x+2.

    \[(\frac{x^2}{4}-2)\log_5(x+2) \geq 0\]

    \[(\frac{x^2}{4}-2)(\log_5(x+2)-\log_51)\geq 0\]

    \[(\frac{x^2}{4}-2)(5-1)(x+2-1)\geq 0\]

    \[(x-2\sqrt{2})(x+2\sqrt{2})(x+1)\geq 0\]

Используя метод интервалов и учитывая ограничение, получаем ответ:

    \[x \in (-2; -1] \cup [2\sqrt{2};+\infty).\]

Ответ: (-2; -1] \cup [2\sqrt{2};+\infty).

Пример 3. \log_{x}(2-x-x^2)>0

Решение.

Ограничение: x>0, x \geq 1, 2-x-x^2>0. Следовательно, x \in (0; 1).

\log_{x}(2-x-x^2)-\log_{x}1>0

(x-1)(x^2+x-1)<0

(x-1)(x-\frac{-1+\sqrt{5}}{2})(x-\frac{-1-\sqrt{5}}{2})<0

Используя метод интервалов и учитывая ограничение, получаем ответ:

    \[x \in (\frac{-1+\sqrt{5}}{2};1)\]

Ответ: (\frac{-1+\sqrt{5}}{2};1) .