Как решать экономические задачи на кредиты?

Пример 1. В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

  • каждый январь долг увеличивается на r % по сравнению с концом предыдущего года;
  • с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Если ежегодно выплачивать по 58 564 рубля, то кредит будет полностью погашен за 4 года, а если ежегодно выплачивать по 106 964 рубля, то кредит будет полностью погашен за 2 года. Найдите r.

Решение.

Введем обозначение: S – сумма кредита в рублях; m=1+\frac{r}{100}.

1 случай:

Год Долг на январь Долг на июль
2021 S \cdot m S \cdot m - 58564
2022 (S \cdot m - 58564) \cdot m Sm^2-58564m-58564
2023 (Sm^2-58564m-58564) \cdot m Sm^3-58564m^2-58564m-58564
2024 (Sm^3-58564m^2-58564m-58564)\cdot m Sm^4-58564m^3-58564m^2-58564m-58564=0

2 случай:

Год Долг на январь Долг на июль
2021 S \cdot m S \cdot m - 106964
2022 (S \cdot m - 106964) \cdot m Sm^2-106964m-106964=0

Решим систему уравнений:

    \[\left\{\begin{matrix} Sm^4-58564m^3-58564m^2-58564m-58564=0\\ Sm^2-106964m-106964=0 \end{matrix}\right.\]

    \[\left\{\begin{matrix} S=106964\frac{m+1}{m^2}\\ \\ S=58564\frac{m^3+m^2+m+1}{m^4} \end{matrix}\right.\]

    \[106964\frac{m+1}{m^2}=58564\frac{m^3+m^2+m+1}{m^4}\]

    \[106964=58564\frac{m^2+1}{m^2}\]

    \[106964m^2-58564m^2-58564=0\]

    \[m^2=1,21\]

    \[m=1,1\]

Ответ: 10%.

Пример 2. 15-го января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

  • 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
  • со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
  • 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга  на 15-е число предыдущего месяца.

Какую сумму следует взять в кредит, чтобы общая сумма выплат после полного его погашения равнялась 1 млн рублей?

Решение.

Введем обозначение: S – сумма кредита в рублях.

По условию задачи составим таблицу:

Месяц Долг на 1 число Выплата Долг на 15-ое число
Январь S
Февраль S \cdot 1,02 S \cdot 0,02+\frac{S}{24} S-\frac{S}{24}=\frac{23S}{24}
Март \frac{23S}{24} \cdot 1,02 \frac{23S}{24}\cdot 0,02+\frac{S}{24} \frac{23S}{24}-\frac{S}{24}=\frac{22S}{24}
Январь \frac{13S}{24} \cdot 1,02 \frac{13S}{24}\cdot 0,02+\frac{S}{24} \frac{12S}{24}
Декабрь \frac{2S}{24} \cdot 1,02 \frac{2S}{24}\cdot 0,02+\frac{S}{24} \frac{S}{24}
Январь \frac{S}{24} \cdot 1,02 \frac{S}{24}\cdot 0,02+\frac{S}{24} 0
Всего 1000 000

Составим и решим уравнение:

    \[S \cdot 0,02+\frac{S}{24}+\frac{23S}{24}\cdot 0,02+\frac{S}{24}+\ldots+\frac{S}{24}\cdot 0,02+\frac{S}{24}=1000 000\]

    \[\frac{S}{24}\cdot 24+S \cdot 0,02 (\frac{24}{24}+\frac{23}{24}+\ldots+\frac{1}{24})=100 000\]

    \[S+S \cdot 0,02 (\frac{24}{24}+\frac{23}{24}+\ldots+\frac{1}{24})=100 000\]

    \[S+S \cdot 0,02 \cdot 12,5=100 000\]

    \[S \cdot 1,25=100 000\]

    \[S=800000\]

Ответ: 800000 рублей.

Пример 3. 15-го декабря планируется взять кредит в банке на 21 месяц. Условия возврата таковы:

  • 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;
  • со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
  • 15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й долг должен быть на 30 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
  • к 15-му числу 21-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1604 тысяч рублей?

Решение.

Пусть S тысяч рублей — сумма, которую взяли в кредит.

Месяц Долг до начисления процентов Процент Выплата
1 S 0,03S 30+0,03S
2 S-30 0,03(S-30) 30+0,03(S-30)
3 S-60 0,03(S-60) 30+0,03(S-60)
\ldots \ldots \ldots \ldots
20 S-570 0,03(S-570) 30+0,03(S-570)
21 S-600 0,03(S-600) S-600+0,03(S-600)

Всего выплатили 1604 тысяч рублей. Составим и решим уравнение:

    \[30+0,03S+30+(S-30)0,03+30+(S-60)0,03+\ldots+30+(S-570)0,03+S-600+(S-600)0,03=1604\]

    \[600+1,63S-0,03(30+60+\ldots+570+600)-600=1604\]

    \[1,63S=1604+0,03(30+600)10\]

    \[1,63S=1604+189\]

    \[1,63S=1793\]

    \[S=1100\]

Ответ: 1100 тысяч рублей.

Пример 4.

15-го декабря планируется взять кредит в банке на 1 000 000 рублей на (n+1) месяц. Условия его возврата таковы:

  • 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;
  • cо 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
  • 15-го числа каждого месяца с 1-го по n-й долг должен быть на 40 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
  • 15-го числа n-го месяца долг составит 200 тысяч рублей;
  • к 15-му числу (n + 1)-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Найдите r, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1378 тысяч рублей.

Решение.

Найдем количество месяцев, на которые был взят кредит:

    \[1000-40n-200=0\]

    \[40n=800\]

    \[n=20\]

    \[n+1=21\]

Месяц Долг до начисления процентов Процент Выплата
1 1000 \frac{1000r}{100} 40+\frac{1000r}{100}
2 960 \frac{960r}{100} 40+\frac{960r}{100}
3 920 \frac{930r}{100} 40+\frac{930r}{100}
\ldots \ldots \ldots \ldots
20 240 \frac{240r}{100} 40+\frac{240r}{100}
21 200 \frac{200r}{100} 200+\frac{200r}{100}

Всего выплатили 1378 тысяч рублей. Составим и решим уравнение:

    \[40+\frac{1000r}{100}+40+\frac{960r}{100}+40+\frac{920r}{100}+\ldots+40+\frac{240r}{100}+\frac{200r}{100}+200=1378\]

    \[800+\frac{r}{100}(1000+960+920+\ldots+240+200)+200=1378\]

    \[12600\frac{r}{100}=378\]

    \[r=3\]

Ответ: 3%.

Подписаться
Уведомление о
guest
2 Комментарий
Newest
Oldest Most Voted
Inline Feedbacks
View all comments
Николай
Николай
1 год назад

В первом варианте в кредит взяли 1100 единиц.
В течении 20 периодов основной долг уменьшаем на 30 ед в периоде. Всего уменьшаем долг на 600 единиц.
И по решению задачи считаем что на 21 период весь долг погашен,
Как-то странно. Или с постановкой задачи что-то не так. Например весь остаток долга выплачиваем в 21-м периоде — но условие задачи, как оно сформулировано, это не предполагает.