Рассмотрим n попарно несовместных событий H1,H2,…,Hn, для которых известны вероятности P(Hi)≠0 и событие A⊂H1+H2+…+Hn, причем известны условные вероятности P(A/Hi). Произведен опыт, в результате которого появилось событие A. Условные вероятности событий H1,H2,…,Hn относительно события А определяются формулой
P(Hk/A)=(P(Hk)P(A/Hk))/∑P(Hi)P(A/Hi), где k=1,2,…,n.
Пример:
Один из трех стрелков производит два выстрела. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,3, для второго — 0,5, для третьего — 0,8. Мишень не поражена. Найти вероятность того, что выстрелы произведены первым стрелком.
Решение:
Введем обозначения событиям:
H1 — выстрелил первый стрелок,
H2 — выстрелил второй стрелок,
H3 — выстрелил третий стрелок.
Так как вызов на линию огня любого стрелка равновозможен, то P(H1)=P(H2)=P(H3)=1/3.
Вероятность непопадания в мишень для первого стрелка равна (1-0,3)=0,7, для второго — 0,5, а для третьего — 0,2. В результате опыта наблюдалось событие A — после произведенных выстрелов мишень не поражена. Найдем вероятность события A, при условии того, что выстрелил определенный стрелок. В первый раз он должен не попасть, во второй раз тоже должен не попасть.
P(A/H1)=0,7·0,7=0,49,
P(A/H2)=0,5·0,5=0,25,
P(A/H3)=0,2·0,2=0,04.
Подставим значения в формулу Бейеса и найдем ответ:
P(H1/A)=(P(H1)P(A/H1))/∑P(Hi)P(A/Hi)=0,49/(0,49+0,25+0,04)≈0,628.
Ответ: 0,628.
Замечание:
Вероятности P(Hk) событий H1,…,Hn до опыта называются априорными вероятностями(a priori — «сперва»), а вероятности P(Hk/A) — апостериорными(a posteriori — «после»).
Задача для самостоятельного решения:
Партия деталей изготовлена тремя рабочими, причем первый изготовил 35% всех деталей, второй — 40%, третий — всю остальную продукцию. Брак в их продукции составляет: у первого — 2%, у второго — 3%, у третьего — 4%. Случайно выбранная для контроля деталь оказалась бракованной. Найти вероятность того, что она изготовлена первым рабочим.
Решение и вопросы оставляйте в комментариях.