Формула Бейеса.

Рассмотрим n попарно несовместных событий H1,H2,…,Hn, для которых известны вероятности P(Hi)≠0 и событие A⊂H1+H2+…+Hn, причем известны условные вероятности P(A/Hi). Произведен опыт, в результате которого появилось событие A. Условные вероятности событий H1,H2,…,Hотносительно события А определяются формулой

P(Hk/A)=(P(Hk)P(A/Hk))/∑P(Hi)P(A/Hi), где k=1,2,…,n.

Пример:

Один из трех стрелков производит два выстрела. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,3, для второго — 0,5, для третьего — 0,8. Мишень не поражена. Найти вероятность того, что выстрелы произведены первым стрелком.

Решение:

Введем обозначения событиям:

H1 — выстрелил первый стрелок,

H2 — выстрелил второй стрелок,

H3 — выстрелил третий стрелок.

Так как вызов на линию огня любого стрелка равновозможен, то P(H1)=P(H2)=P(H3)=1/3.

Вероятность непопадания в мишень для первого стрелка равна (1-0,3)=0,7, для второго — 0,5, а для третьего — 0,2. В результате опыта наблюдалось событие A — после произведенных выстрелов мишень не поражена. Найдем вероятность события A, при условии того, что выстрелил определенный стрелок. В первый раз он должен не попасть, во второй раз тоже должен не попасть.

P(A/H1)=0,7·0,7=0,49,

P(A/H2)=0,5·0,5=0,25,

P(A/H3)=0,2·0,2=0,04.

Подставим значения в формулу Бейеса и найдем ответ:

P(H1/A)=(P(H1)P(A/H1))/∑P(Hi)P(A/Hi)=0,49/(0,49+0,25+0,04)≈0,628.

Ответ: 0,628.

Замечание:

Вероятности P(Hk) событий H1,…,Hn до опыта называются априорными вероятностями(a priori — «сперва»), а вероятности P(Hk/A) — апостериорными(a posteriori — «после»).

Задача для самостоятельного решения:

Партия деталей изготовлена тремя рабочими, причем первый изготовил 35% всех деталей, второй — 40%, третий — всю остальную продукцию. Брак в их продукции составляет: у первого — 2%, у второго — 3%, у третьего — 4%. Случайно выбранная для контроля деталь оказалась бракованной. Найти вероятность того, что она изготовлена первым рабочим.

Решение и вопросы оставляйте в комментариях.

Подписаться
Уведомить о
guest
0 Комментарий
Межтекстовые Отзывы
Посмотреть все комментарии