Формула Бернулли.

Формула Бернулли. 1 подготовка к ОГЭ, ЕГЭ и олимпиадам по математике

Производятся испытания, в каждом из которых может появиться событие A или не появиться событие A. Если вероятность события A в одном испытании не зависит от появления его в любом другом, то испытания называются независимыми относительно события A.

Пусть вероятность появления события A в каждом опыте постоянна и равна p. Тогда вероятность того, что в n независимых испытаниях событие A появится ровно k раз, рассчитывается по формуле:

    \[P_n(k)=C_n^{k}p^{k}q^{n-k}\]

где C_n^{k} — число сочетаний, q=1-p.

Примеры

Задача 1. Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Что вероятнее: выиграть 1 партию из 2 или 2 партии из 4 (ничьи во внимание не принимаются).

Решение. Поскольку играют равносильные шахматисты, то вероятность выигрыша равна 0,5.

  1. P_{2}(1)={2!}\cdot{0,5}\cdot{0,5}=0,5,
  2. P_{4}(2)=\frac{4!}{2!(4-2)!} \cdot {0,52} \cdot {0,52}={6}\cdot{0,25}\cdot{0,25}=0,375.

Ответ: вероятней всего выиграть 1 партию из 2, чем 1 партию из 4.

Задача 2. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для стрелка равна 0,7 и не зависит от номера выстрела. Найти вероятность того, что при 4 выстрелах произойдет ровно 3 попадания в мишень.

Решение. Пользуясь формулой Бернулли, находим вероятность:

    \[P_{4}(3)=\frac{4!}{3!}\cdot{0,7^{3}}{0,3}=0,4116.\]

Ответ: 0,4116.

Задача 3. Подбрасывается 5 симметричных монет. Найти вероятность, что выпало ровно 2 герба.

Решение: В данном случае p=q=0,5. Пользуясь формулой Бернулли, находим вероятность:

    \[P_{5}(2)=\frac{5!}{3!2!}\cdot{0,5^{2}}{0,5^{3}}=0,3125.\]

Ответ: 0,3125.

Подписаться
Уведомление о
0 Комментарий
Inline Feedbacks
View all comments