Рассмотрим n попарно несовместных событий H1,H2,…,Hn, для которых известны вероятности P(Hi)≠0 и событие A⊂H1+H2+…+Hn, причем известны условные вероятности P(A/Hi). Вероятность события A определяется формулой P(A)=∑P(Hi)P(A/Hi).
Эта формула называется формулой полной вероятности. События H1,H2,…,Hn называют гипотезами.
Пример: Имеются три урны с шарами. В первой находится 5 голубых и 3 красных шара, во второй — 4 голубых и 4 красных, в третьей — 8 голубых. Наугад выбирается одна из урн и из нее наугад извлекается шар. Какова вероятность того, что он окажется красным (событие А).
Решение:
Воспользуемся формулой полной вероятности. Шар может быть извлечен из первой урны, либо из второй, либо из третьей. Обозначим через H1, H2, H3 соответственно выбор первой, второй и третьей урны. Поскольку имеются одинаковые шансы выбрать любую из урн, то P(H1)=P(H2)=P(H3)=1/3.
В каждой урне по 8 шаров. В первой урне 3 красных шара, значит вероятность вынуть из первой урны красный шар равна 3/8. Во второй урне 4 красных шара, значит вероятность вынуть из второй урны красный шар равна 4/8. В третьей урне нет красных шаров, значит вероятность достать из третьей урны красный шар равна 0.
В соответствии с формулой находим искомую вероятность
P(A)=1/3·(3/8+4/8+0)=7/24=0,292.
Ответ: 0,292.