Геометрическая прогрессия.

Определение

Геометрическая прогрессия — числовая последовательность, в которой каждый следующий член отличается от предыдущего в определенное количество раз. Частное двух соседних элементов геометрической прогрессии постоянно.

Формула n-ого члена геометрической прогрессии

    \[b_2=b_1 \cdot q\]

    \[b_3=b_2 \cdot q=b_1 \cdot q \cdot q=b_1 \cdot q^2\]

    \[\ldots\]

    \[b_n=b_1\cdot q^{n-1}\]

Пример 1. Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если третий элемент геометрической прогрессии равен 28, а 6-ый — 224.

Решение.

Третий элемент прогрессии равен b_3=b_1 \cdot q^2, а шестой элемент прогрессии — b_{6}=b_1 \cdot q^5. Сложим данные равенства.

Получим:

    \[\frac{b_{6}}{b_3}=\frac{q^5}{q^2};\]

    \[q=\sqrt[3]{\frac{224}{28}};\]

    \[q=\sqrt[3]{8};\]

    \[q=2.\]

Ответ: 2.

Сумма геометрической прогрессии

Запишем сумму n элементов геометрической прогрессии:  

    \[S_n=b_1+b_2+b_3+\ldots+b_n=b_1+b_1q+b_1q^2+\ldots+b_1q^{n-1}.\]

Прибавим к левой и правой части равенства  b_1q^n.

Получим:

    \[S_n+b_1q^n=b_1+b_1q+b_1q^2+\ldots+b_1q^{n-1}+b_1q^n=b_1+q \cdot S_n\]

    \[S_n(1-q)=b_1-b_1q^n\]

S_n=b_1\frac{1-q^n}{1-q}, если q \neq 1.

Если q=1, то S_n=b_1 \cdot n.

Пример 2. Найдите сумму чисел \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}.

Решение.

\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1-{\left ( \frac{1}{2}\right )}^5}{1-\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{32}=\frac{31}{32}.

Ответ: \frac{31}{32}.

Бесконечно убывающей геометрической прогрессией называется бесконечная геометрическая прогрессия, знаменатель которой удовлетворяет условию |q|<1.

При неограниченном возрастании n сумма S_n=b_1\frac{1-q^n}{1-q}, первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии стремится к числу S=\frac{b_1}{1-q}, которое называется суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Пример 3. Переведите бесконечную периодическую дробь 0,(8) в обыкновенную дробь.

Решение.

0,(8)=\frac{8}{10}+\frac{8}{100}+\frac{8}{1000}+\frac{8}{10000}+\ldots=\frac{0,8}{1-\frac{1}{10}}=\frac{0,8}{0,9}=\frac{8}{9}

Ответ:\frac{8}{9}.

Характеристическое свойство геометрической прогрессии

    \[b_n^2=b_{n-1} \cdot b_{n+1}\]

Пример 4. Выписано несколько последовательных членов геометрической прогрессии:

    \[\ldots;189; x; 21; 7; \ldots .\]

Найдите x.

Решение.

    \[x^2=189 \cdot 21\]

    \[x^2=13969\]

x=63, так как в данной геометрической прогрессии x>0.

Ответ: 63.

Подписаться
Уведомление о
guest
0 Комментарий
Inline Feedbacks
View all comments