Углы, связанные с окружностью.

Центральный угол — угол, вершина которого совпадает с центром окружности.

Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают её.

Вписанный угол в два раза меньше центрального, опирающегося на ту же дугу.

Углы, связанные с окружностью. 1

Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

Углы, связанные с окружностью. 2

Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, вершины которых лежат по одну сторону от этой хорды, равны.

Углы, связанные с окружностью. 3

Все вписанные углы, опирающиеся на диаметр, прямые.

Углы, связанные с окружностью. 4

Любые два вписанных угла, опирающиеся на одну и ту же хорду, вершины которых лежат по разные стороны хорды, составляют в сумме 180°.

Углы, связанные с окружностью. 5

Угол между пересекающимися хордами измеряется полусуммой дуг, заключенных между его сторонами.

Углы, связанные с окружностью. 6

Угол между секущими, пересекающимися вне окружности, измеряется полуразностью дуг, заключенных между его сторонами.

Углы, связанные с окружностью. 7

Угол между касательной и секущей, пересекающимися вне окружности, измеряется полуразностью дуг, заключенных между его сторонами.

Углы, связанные с окружностью. 8

Угол между касательными к окружности измеряется полуразностью дуг, заключенных между его сторонами.

Углы, связанные с окружностью. 9

Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, равняется половине центрального угла, опирающегося на данную хорду:

Углы, связанные с окружностью. 10

Читать далее

Окружность 9 точек.

В любом треугольнике основания высот, середины сторон и середины отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами, лежат на одной окружности с центром в середине отрезка OH и радиусом R/2.

Окружность 9 точек. 11

 

В треугольнике по отношению к описанной окружности окружность девяти точек может располагаться следующим образом:

  • Она касается описанной окружности в единственном случае, если треугольник прямоугольный. При этом касание двух окружностей идет в вершине прямого угла треугольника.
  • Она целиком лежит внутри описанной окружности, если треугольник остроугольный.
  • Она пересекает описанную окружность в двух разных точках, если треугольник тупоугольный.

Утверждение 1:

Треугольники ABC, HBC, AHC, ABH имеют общую окружность 9 точек.

Утверждение 2: 

Прямые Эйлера треугольников ABC, HBC, AHC, ABH пересекаются в одной точке.

Утверждение 3:

Центры описанных окружностей треугольников ABC, HBC, AHC, ABH образуют четырехугольник, симметричный четырехугольнику ABCH.

Читать далее

LegoMath. Диаграммы.

LegoMath. Диаграммы. 12

Изучение столбчатых диаграмм помогает усовершенствовать следующие умения: счет объектов, классификация и анализ информации.

Основные этапы занятия:

  1. Рассортировать объекты по какому-нибудь признаку.
  2. Подсчитать количество объектов каждого вида.
  3. Построить столбики из кубиков LEGO.
  4. Расположить по убыванию/возрастанию.
  5. Провести рефлексию.
Читать далее

LegoMath. Дроби.

LegoMath. Дроби. 13

Дробь — одна из самых сложных базовых тем школьного курса математики. В Германии существует поговорка "in die Bruche kommen" (дословно: "попасть в дроби"), которая означает "попасть в трудное положение".

Для дошкольников имеется уникальная возможность познакомится с дробями еще до школы в процессе игры. Изучение дробей нужно проводить постепенно. Только после полного закрепления текущей темы, переходить к следующей. На первом занятии изучить понятие "половина", на втором — "четверть", на третьем — "1/3, 1/5, ...", на четвертом — "2/3, 2/4, 3/5, ...". Если вы считаете, что ребенок не понял тему, то не надо переходить к следующей. Лучше повторить ее еще раз.

Один из примеров использования кубиков LEGO, при изучении дробей, показан на рисунке.

Читать далее