Лемма о трезубце.

Пусть продолжение биссектрисы BD треугольника ABC пересекает описанную окружность в точке M; O — центр окружности, вписанной в треугольник ABC; W — центр вневписанной окружности, касающейся стороны AC.

Тогда MA=MO=MC=MW.Лемма о трезубце. 1 подготовка к ОГЭ, ЕГЭ и олимпиадам по математике

 

Доказательство:

Пусть ∠BAC=2α, а ∠ABC=2β.

Следовательно, ∠BAO=∠OAC=α, а ∠ABO=∠OBC=β (центр вписанной окружности треугольника — точка пересечения биссектрис треугольника).

∠AOM=∠BAO+∠ABO=α+β (свойство внешнего угла Δ ABO).

∠OAM=∠OAC+∠CAM=∠OAC+∠CBM=α+β (свойство вписанных углов, опирающихся на одну дугу).

Следовательно, ∠AOM=∠OAM. Δ MAO — равнобедренный, MA=MO.

Аналогично доказывается равенство: MO=MC.

Докажем, что MA=MW.

∠OAW=90° (угол между биссектрисами смежных углов).

∠AWM=90°-∠AOM (свойство острых углов прямоугольного треугольника)=90°-∠OAM=∠MAW.

Следовательно, ΔMAW — равнобедренный, MA=MW.

Подписаться
Уведомить о
guest
0 Комментарий
Межтекстовые Отзывы
Посмотреть все комментарии