Пусть продолжение биссектрисы BD треугольника ABC пересекает описанную окружность в точке M; O — центр окружности, вписанной в треугольник ABC; W — центр вневписанной окружности, касающейся стороны AC.
Тогда MA=MO=MC=MW.
Доказательство:
Пусть ∠BAC=2α, а ∠ABC=2β.
Следовательно, ∠BAO=∠OAC=α, а ∠ABO=∠OBC=β (центр вписанной окружности треугольника — точка пересечения биссектрис треугольника).
∠AOM=∠BAO+∠ABO=α+β (свойство внешнего угла Δ ABO).
∠OAM=∠OAC+∠CAM=∠OAC+∠CBM=α+β (свойство вписанных углов, опирающихся на одну дугу).
Следовательно, ∠AOM=∠OAM. Δ MAO — равнобедренный, MA=MO.
Аналогично доказывается равенство: MO=MC.
Докажем, что MA=MW.
∠OAW=90° (угол между биссектрисами смежных углов).
∠AWM=90°-∠AOM (свойство острых углов прямоугольного треугольника)=90°-∠OAM=∠MAW.
Следовательно, ΔMAW — равнобедренный, MA=MW.
