Метод рационализации.

26.07.2020 Комментариев нет

Метод рационализации заключается в замене сложного выражения на равносильное ему более простое выражение на области определения исходного выражения при решении неравенств.

Выделим основные формулы перевода сложного выражения в более простое.

$\log_af(x)-\log_ag(x) \sim (a-1)(f(x)-g(x))$

$a^{f(x)}-a^{g(x)}(a>0) \sim (a-1)(f(x)-g(x))$

$\left | f(x) \right |-\left | g(x) \right | \sim f^2(x)-g^2(x)$

Пример 1. $\log_{x^2}\left |5x+2\right |<\frac{1}{2}$

Решение.

Ограничение: $x^2\neq 1$ , $x \neq 0$ .

$\log_{x^2}\left |5x+2\right |<\frac{1}{2}$

Представим $\frac{1}{2}$ в виде логарифма по основанию $x^2$ и перенесем в левую часть:

$\log_{x^2}\left |5x+2\right |-\log_{x^2}\left |x \right |<0$

$(x^2-1)(\left |5x+2\right |-\left |x \right |)<0$

$(x-1)(x+1)(5x+2-x)(5x+2+x)<0$

$(x-1)(x+1)(4x+2)(6x+2)<0$

Используя метод интервалов и учитывая ограничение, получаем ответ:

$x \in (-1; -\frac{1}{2}) \cup (-\frac{1}{3}; 0) \cup (0; 1) .$

Ответ: $(-1; -\frac{1}{2}) \cup (-\frac{1}{3}; 0) \cup (0; 1)$ .

Пример 2. $x^2\log_{625}(x+2)\geq\log_{5}(x^2+4x+4)$

Решение.

Ограничение: $x+2>0$

$x^2\log_{625}(x+2)\geq\log_{5}(x^2+4x+4)$

$x^2\log_{5^4}(x+2)\geq\log_{5}(x+2)^2$

$\frac{x^2}{4}\log_{5}(x+2)-2\log_{5}\left |x+2 \right |\geq 0$

Так как $x+2>0$ , то $\left |x+2 \right |=x+2.$

$(\frac{x^2}{4}-2)\log_5(x+2) \geq 0$

$(\frac{x^2}{4}-2)(\log_5(x+2)-\log_51)\geq 0$

$(\frac{x^2}{4}-2)(5-1)(x+2-1)\geq 0$

$(x-2\sqrt{2})(x+2\sqrt{2})(x+1)\geq 0$

Используя метод интервалов и учитывая ограничение, получаем ответ:

$x \in (-2; -1] \cup [2\sqrt{2};+\infty).$

Ответ: $(-2; -1] \cup [2\sqrt{2};+\infty).$

Пример 3. $\log_{x}(2-x-x^2)>0$

Решение.

Ограничение: $x>0, x \geq 1, 2-x-x^2>0.$ Следовательно, $x \in (0; 1).$

$\log_{x}(2-x-x^2)-\log_{x}1>0$

$(x-1)(x^2+x-1)<0$

$(x-1)(x-\frac{-1+\sqrt{5}}{2})(x-\frac{-1-\sqrt{5}}{2})<0$

Используя метод интервалов и учитывая ограничение, получаем ответ:

$x \in (\frac{-1+\sqrt{5}}{2};1)$

Ответ: $(\frac{-1+\sqrt{5}}{2};1)$ .

Previous Post Next Post

Подписаться

0 Комментарий

Межтекстовые Отзывы

Посмотреть все комментарии