Геометрическое решение задач на движение.

В некоторых задачах на движение картинку лучше рисовать на координатной плоскости, где на оси абсцисс откладывается время, а на оси ординат — расстояние. Иногда более простым оказывается геометрическое решение задачи, использующее подобие треугольников.

Рассмотрим задачу:

Из городов A и B навстречу друг другу одновременно вышли два товарных поезда. Они двигались без остановок, встретились через 24 часа после начала движения и продолжили свой путь, причем первый поезд прибыл в пункт B на 20 часов позднее, чем второй поезд прибыл в пункт A. Сколько времени был в пути первый поезд?

Решение.

Пусть x часов — время, затраченное вторым поездом на весь путь из B в A. Тогда x+20 часов — время, затраченное первым поездом на весь путь из A в B. Нарисуем рисунок на координатной плоскости:

Геометрическое решение задач на движение. 1 подготовка к ОГЭ, ЕГЭ и олимпиадам по математике

Тогда D на рисунке соответствует моменту встречи поездов и имеет, согласно условию задачи, абсциссу, равную 24.

Из подобия треугольников BDC и EDA имеем:

    \[\frac{BC}{AE}=\frac{DC}{AD}\]

    \[\frac{x+20}{x}=\frac{DC}{AD}\]

Из подобия треугольников ACG и ADF имеем:

    \[\frac{AG}{AF}=\frac{AC}{AD}\]

    \[\frac{x+20}{24}=\frac{AC}{AD}\]

Так как верно соотношение \frac{AC}{AD}=\frac{AD+DC}{AD}=1+\frac{DC}{AD}, получаем уравнение:

    \[\frac{x+20}{24}=1+\frac{x+20}{x}\]

    \[x^2-28x-480=0\]

    \[x=40\]

Значит, первый поезд затратил на весь путь x+20=60 часов.

Ответ: 60 часов.

Подписаться
Уведомление о
guest
0 Комментарий
Inline Feedbacks
View all comments