Инцентр треугольника.

Инцентр — точка пересечения биссектрис треугольника. Инцентр является центром вписанной окружности.

Инцентр треугольника. 1

Свойства:

  1. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
  2. Инцентр находится на одинаковом расстоянии от всех сторон треугольника.
  3. Инцентр делит биссектрису угла A треугольника ABC в отношении: (AB+AC)/BC.
Читать далее

Центроид треугольника.

Центроид треугольника — точка пересечения медиан треугольника.

Центроид треугольника. 2

Свойства:

  1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке;
  2. Точка пересечения медиан треугольника делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины;
  3. Центроид лежит на прямой, соединяющей ортоцентр и центр описанной окружности, и делит его в отношении 2:1;
  4. Три отрезка, соединяющие вершины треугольника с центроидом, делят треугольник на три равновеликих треугольника;
  5. Три отрезка, соединяющие середины сторон треугольника с центроидом, делят треугольник на три равновеликих четырехугольника.
Читать далее

Вневписанная окружность треугольника.

Определение.

Окружность, касающаяся стороны треугольника и продолжения двух других его сторон, называется вневписанной окружностью треугольника.

Вневписанная окружность треугольника. 3

Теорема 1.

Центр окружности, вневписанной в треугольник, есть точка пересечения биссектрис двух внешних и одного внутреннего угла треугольника.

Вневписанная окружность треугольника. 4

Доказательство.

BF — биссектриса ∠JBG, следовательно F равноудалена от сторон данного угла.

СF — биссектриса ∠JСH, следовательно F равноудалена от сторон данного угла.

Следовательно, точка F равноудалена от сторон ∠BAC.

Таким образом, точка F — центр окружности, касающейся стороны BC и продолжения сторон AB и AC. По определению данная окружность называется вневписанной окружностью треугольника.

Теорема 2. 

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой касания вневписанной окружности и противолежащей стороны, делит треугольник на два треугольника равного периметра.

Вневписанная окружность треугольника. 5

Доказательство.

BJ=BG, GC=CH и AJ=AH (свойство отрезков касательных, проведенных из одной точки к окружности).

PΔABC=AB+BC+AC=AB+BG+GC+AC=AB+BJ+AC+CH=AJ+AH.

Так как AJ=AH, то PΔABC/2=AJ=AH и PΔABC/2+AG=AJ+AG=AH+AG=AB+BG+GA=AC+CG+GA.

Следовательно, отрезок AG поделил треугольник ABC на два треугольника равного периметра PΔABC/2+AG.

Советую прочитать:

  1. Площадь треугольника через радиус вневписанной окружности;
  2. Лемма о трезубце.
Читать далее

Свойства и признаки вписанного четырехугольника.

Свойства и признаки вписанного четырехугольника. 6

Вписанный четырехугольникэто четырехугольник, все вершины которого лежат на одной окружности.

Центр окружности, описанной около четырехугольника — точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам четырехугольника.

Для того, чтобы четырехугольник был вписанным, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из следующих равенств (признаки вписанного четырехугольника):

  • ∠BAD+∠BCD=180° (сумма противоположных углов равна 180°);
  • ∠ABD=∠ACD (углы, опирающиеся на одну сторону равны);
  • AF·FC=BF·FD (F — точка пересечения диагоналей);
  • EA·EB=EC·ED (E — точка пересечения прямых AB и СD).

Специальные случаи: 

Любые квадраты, прямоугольники, равнобедренные трапеции можно вписать в окружность.

Свойства вписанного четырехугольника:

  • Произведение диагоналей вписанного четырехугольника равняется сумме произведений его противолежащих сторон.
  • Диагонали вписанного четырехугольника относятся как суммы, произведений сторон, сходящихся в концах диагоналей.
  • Диагонали вписанного четырехугольника разбивают его на две пары подобных треугольников.
  • Сумма квадратов противолежащих сторон четырехугольника равна квадрату диаметра описанной окружности.
  • Сумма противолежащих углов четырехугольника равна 180°.
Читать далее