Признаки вписанного четырехугольника.

Признаки вписанного четырехугольника. 1

Вписанный четырехугольникэто четырехугольник, все вершины которого лежат на одной окружности.

Для того, чтобы четырехугольник был вписанным, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из следующих равенств:

  • ∠BAD+∠BCD=180° (сумма противоположных углов равна 180°);
  • ∠ABD=∠ACD (углы, опирающиеся на одну сторону равны);
  • AF·FC=BF·FD (F — точка пересечения диагоналей);
  • EA·EB=EC·ED (E — точка пересечения прямых AB и СD);
  • AC·BD=AB·CD+BC·AD (теорема Птолемея).

Специальные случаи: 

Любые квадраты, прямоугольники, равнобедренные трапеции можно вписать в окружность.

Читать далее

Метрические соотношения в окружности.

Отрезки пересекающихся хорд связаны соотношением:

Метрические соотношения в окружности. 2

Отрезки касательных, проведенных из общей точки, равны:

Метрические соотношения в окружности. 3

Квадрат длины отрезка касательной равен произведению длин отрезков секущей, проведенной из той же точки:

Метрические соотношения в окружности. 4

Произведения длин отрезков секущих, проведенных из общей точки, равны:

Метрические соотношения в окружности. 5

Читать далее

Углы, связанные с окружностью.

Центральный угол — угол, вершина которого совпадает с центром окружности.

Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают её.

Вписанный угол в два раза меньше центрального, опирающегося на ту же дугу.

Углы, связанные с окружностью. 6

Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

Углы, связанные с окружностью. 7

Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, вершины которых лежат по одну сторону от этой хорды, равны.

Углы, связанные с окружностью. 8

Все вписанные углы, опирающиеся на диаметр, прямые.

Углы, связанные с окружностью. 9

Любые два вписанных угла, опирающиеся на одну и ту же хорду, вершины которых лежат по разные стороны хорды, составляют в сумме 180°.

Углы, связанные с окружностью. 10

Угол между пересекающимися хордами измеряется полусуммой дуг, заключенных между его сторонами.

Углы, связанные с окружностью. 11

Угол между секущими, пересекающимися вне окружности, измеряется полуразностью дуг, заключенных между его сторонами.

Углы, связанные с окружностью. 12

Угол между касательной и секущей, пересекающимися вне окружности, измеряется полуразностью дуг, заключенных между его сторонами.

Углы, связанные с окружностью. 13

Угол между касательными к окружности измеряется полуразностью дуг, заключенных между его сторонами.

Углы, связанные с окружностью. 14

Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, равняется половине центрального угла, опирающегося на данную хорду:

Углы, связанные с окружностью. 15

Читать далее

Теорема Чевы, Менелая и метод масс.

Задача 1. Доказать, что медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

Задача 2. Точки М и N расположены соответственно на сторонах AB и AC треугольника ABC, причем AM:MB=1:2, AN:NC=3:2. Прямая MN пересекает продолжение стороны BC в точке F. Найдите отношение: BF:CF.

Задача 3. На сторонах AB и BC треугольника ABC взяты соответственно точки M и N так, что AM:MB=2:3, BN:NC=2:1. Отрезки AN и СM пересекаются в точке O. Найдите отношение СO:OM.

Задача 4. Стороны треугольника равны 5, 6, 7. Найдите отношение отрезков, на которые биссектриса большего угла этого треугольника разделена центром окружности, вписанной в треугольник.

Задача 5. В треугольнике ABC точка D делит сторону BC в отношении BD:DC=1:3, а точка О делит AD в отношении AO:OD=5:2. В каком отношении прямая BO делит отрезок AC?

Задача 6. В треугольнике ABC взята точка M, а на стороне BC — точка K так, что AM:MC=2:3, BK:KC=4:3. В каком отношении AK делит отрезок BM?

Задача 7. В треугольнике ABC AA1 — биссектриса, BB1 — медиана. AB=2, AC=3. Найти BO:OB1.

Задача 8. Медиана BD и биссектриса AE треугольника ABC пересекается в точке F. Найти площадь треугольника ABC, если AF=3FE, BD=4, AE=6.

Задача 9. На сторонах AB и BC треугольника ABC взяты точки М и N соответственно. Отрезки AN и СM пересекаются в точке L. Площади треугольников AML, CNL и ALC равны соответственно 15, 48 и 40. Найдите площадь треугольника ABC.

Задача 10. На стороне NP квадрата MNPQ взята точка A, а на стороне PQ — точка B так, что NA:AP=PB:BQ=2:3. Точка L является точкой пересечения отрезков MA и NB. В каком отношении точка L делит отрезок MA?

Читать далее