Теорема Птолемея.

Теорема Птолемея. 1

Теорема. Произведение диагоналей четырехугольника, вписанного в окружность, равно сумме произведений противоположных сторон этого четырехугольника.

Доказательство.

Отложим от луча СD угол DCK равный углу ACB. CK∩DB=E. 

Рассмотрим ΔDCE и ΔACB:

  1. ∠δ=∠γ (вписанные углы, опирающиеся на дугу BC);
  2. ∠ε=∠ζ (по построению).

Следовательно, ΔDCE подобен ΔACB по 2 углам.

DC/AC=DE/AB=CE/CB.

Выразим DE через AC, AB и DC: DE=(DC·AB)/AC (1).

Рассмотрим ΔDCA и ΔBCE :

  1. ∠α=∠β (вписанные углы, опирающиеся на дугу DC);
  2. ∠DCA=∠ECB (по построению).

Следовательно, ΔDCA подобен ΔECB по 2 углам.

DC/EC=DA/EB=CA/CB.

Выразим EB через AC, CB и DA: EB=(DA·CB)/AC (2).

Сложим почленно равенства (1) и (2):

DE+EB=(DC·AB+DA·CB)/AC;

DB=(DC·AB+DA·CB)/AC;

DB·AC=DC·AB+DA·CB.

Подробнее

Свойства и признаки вписанного четырехугольника.

Свойства и признаки вписанного четырехугольника. 2

Вписанный четырехугольникэто четырехугольник, все вершины которого лежат на одной окружности.

Центр окружности, описанной около четырехугольника — точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам четырехугольника.

Для того, чтобы четырехугольник был вписанным, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из следующих равенств (признаки вписанного четырехугольника):

  • ∠BAD+∠BCD=180° (сумма противоположных углов равна 180°);
  • ∠ABD=∠ACD (углы, опирающиеся на одну сторону равны);
  • AF·FC=BF·FD (F — точка пересечения диагоналей);
  • EA·EB=EC·ED (E — точка пересечения прямых AB и СD).

Специальные случаи: 

Любые квадраты, прямоугольники, равнобедренные трапеции можно вписать в окружность.

Свойства вписанного четырехугольника:

  • Произведение диагоналей вписанного четырехугольника равняется сумме произведений его противолежащих сторон.
  • Диагонали вписанного четырехугольника относятся как суммы, произведений сторон, сходящихся в концах диагоналей.
  • Диагонали вписанного четырехугольника разбивают его на две пары подобных треугольников.
  • Сумма квадратов противолежащих сторон четырехугольника равна квадрату диаметра описанной окружности.
  • Сумма противолежащих углов четырехугольника равна 180°.
Подробнее

Свойства и признаки описанного четырехугольника.

Свойства и признаки описанного четырехугольника. 3

Описанный четырехугольник — четырехугольник, все стороны которого касаются окружности.

Центр вписанной окружности в четырехугольник — точка пересечения биссектрис всех углов четырехугольника. Не все четырёхугольники можно описать около окружности, так как биссектрисы четырёх углов могут не пересекаться в одной точке.

Основной признак описанного четырехугольника:

Если суммы противоположных сторон четырехугольника равны, то четырехугольник является описанным.

Основное свойство описанного четырехугольника:

Если четырехугольник является описанным, то суммы противоположных сторон этого четырехугольника равны. 

Подробнее

Метрические соотношения в окружности.

Отрезки пересекающихся хорд связаны соотношением:

Метрические соотношения в окружности. 4

Отрезки касательных, проведенных из общей точки, равны:

Метрические соотношения в окружности. 5

Квадрат длины отрезка касательной равен произведению длин отрезков секущей, проведенной из той же точки:

Метрические соотношения в окружности. 6

Произведения длин отрезков секущих, проведенных из общей точки, равны:

Метрические соотношения в окружности. 7

Подробнее