Размещения и сочетания.

Сколько вариантов подбора четырехзначного кода, состоящего только из цифр? А из букв латинского алфавита? Прочитав данную статью до конца, вы сможете решить данные задачи без проблем. Итак, начнем.

Размещениями называют множества, составленные из n элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком.

Число всех возможных размещений, если все n элементы различны, определяется формулой:

 A=n·(n-1)·(n-2)·...·(n-m+1).

Число размещений по m с повторениями из n элементов равно nm. Таким образом: A(c повторениями)=nm.

Примеры:

  1. Сколько способов выбрать старосту и заместителя старосты из 25 кандидатов?
    Решение:
    25·24=600
    Ответ: 600.
  2. Сколькими способами девочка Кристи может разложить 6 кукол по трём ящикам, если каждый ящик может вместить все куклы?
    Решение:
    A=312 =531441
    Ответ: 531441.

Сочетаниями из n элементов по m называются множества, содержащие m элементов из числа n заданных, и которые отличаются хотя бы одним элементом.

Число сочетаний из n элементов по m обозначают: С(m,n).

Число всех возможных сочетаний, если все n элементы различны, определяется формулой:

С(m,n)=n!/(m!(n-m)!).

Число сочетаний с  повторениями равно: С(m,n) с повт. = С(m,n+m-1).

Полагают, что С(0,n)=1.

Для количества сочетаний справедливы равенства:

  1. С(m,n)=C(n-m,n),
  2. C(m+1,n+1)=C(m,n)+C(m+1,n),
  3. C(0,n)+C(1,n)+C(2,n)+...+C(n-1,n)+C(n,n)=2(число всех подмножеств множества, состоящего из n элементов равно 2n).

Примеры:

  1. Сколько способов выбрать три лица на три одинаковые должности из 25 кандидатов?
    Решение:
    С(3,25)=25!/(3!(22)!)=(23·24·25)/6=2300
    Ответ: 2300.
  2. В почтовом отделении продаются открытки 10 сортов. Сколькими способами можно купить в нем 12 открыток?
    Решение:
    С(12,10)=С(12,12+10-1)=С(12,21)=21!/(12!(21-12)!)=293930
    Ответ: 293930.
Читать далее

Элементы комбинаторики. Перестановки.

Элементы комбинаторики. Перестановки. 6

Множества элементов, состоящие из одних и тех же различных элементов и отличающиеся друг от друга только их порядком, называются перестановками этих элементов.

В перестановках элементы только переставляют. Поменяв местами любые два элемента множества, мы получим новую перестановку. Количество возможных перестановок множества из n элементов обозначают: Pn.

Алгоритм нахождения перестановок:

  1. Выберем элемент, который будет находиться на первом месте. Количество способов его выбрать равняется количеству элементов. Всего n элементов, значит количество способов тоже n.
  2. Так как первый элемент уже на месте, то количество элементов которые ещё не на месте уменьшается на единицу. На второе место мы можем поставить n-1 элемента.
  3. На третье место n-2 элемента.
  4. На четвертое n-3 элемента.
  5.  ...

n. На n-ое место оставшийся элемент.

Зная как находятся перестановки и используя правило произведения из комбинаторики, найдем количество перестановок множества из n элементов.

Pn=n·(n-1)·(n-2)·(n-3)·...·1=n!

n! - произведение n первых натуральных чисел (читается как "эн факториал")

Замечание: 

Пустое множество можно упорядочить только одним способом. Полагают, что 0!=1.

Примеры:

  1. Сколько различных способов выстроиться в ряд компании из 6 человек?

    Решение:

    P6=6·(6-1)·(6-2)·(6-3)·...·1=6!=720.

    Ответ: 720.

  2. Сколько различных чисел можно составить из цифр 1, 2 и 3?

    Решение:

    P3=3·(3-1)·(3-2)=3!=6.

    Ответ: 6.

Выше предполагалось, что все элементы различны. Если же некоторые элементы повторяются, то число перестановок с повторениями определяется следующей формулой.

Pn(n1,n2,n3,...,nk)=n!/(n1!·n2!·n3!·...·nk!)

Примеры:

  1. Сколько различных перестановок букв можно сделать в слове: М,А,Т,Е,М,А,Т,И,К,А?

     Решение:

     Количество букв равно 10.

     Буква М повторяется 2 раза, буква А - 3 раза, буква Т - 2 раза, буквы И и К по одному разу.

     P10(2,3,2,1,1)=10!/(2!·3!·2!·1!·1!)=3628800/(2·6·2·1·1)=151200

    Ответ: 151200.

  2. Сколько различных шестизначных чисел можно составить из цифр 1, 1, 2, 2, 2, 3?

     Решение:

     P6(1,2,3)=6!/(1!·2!·3!)=720/12=60.

    Ответ: 60.

Читать далее

Элементы комбинаторики. Правило суммы и произведения.

Комбинаторика – это раздел математики, занимающейся изучением всевозможных комбинаций (соединений), которые можно составить по определённому правилу из заданного набора объектов.

Правило суммы: если существует группа из m элементов и отличная от неё группа из n элементов, а требуется выбрать из них всего один элемент, то сделать это можно m+n способами.

Пример:

В гардеробе у Нади 2 платья и 3 костюма. Ей необходимо выбрать наряд для праздника.  Сколько вариантов у нее имеется.

Ответ: 2+3=5.

Элементы комбинаторики. Правило суммы и произведения. 7

Правило произведения: если нужно выбрать пару элементов, причем один из группы в m элементов, а другой из группы в n элементов, то сделать это можно  m·n способами.

Пример:

В гардеробе у Маши 10 футболок и 5 шорт. Сколько комплектов Маше можно составить из данной одежды.

Ответ:  5·10=50 комплектов.

Расширенное правило произведения: если существуют n обособленных групп элементов(допустим, в первой m1 элемент, во второй m2 элемента, ... в последней mn элементов) и из каждой такой группы нужно выбрать по одному элементу для составления новой комбинации элементов, то это можно сделать m1·m2·m3·...·m способами.

Пример:

У Маши 7 вечерних нарядов, 5 туфель и 6 сумок. Все они идеально подходят друг к другу.  Сколько комплектов можно составить из данной одежды.

Ответ:  7·5·6=210 комплектов.

Читать далее

Гармония геометрии и природы.

“Я поклоняюсь природе и делаю это с помощью чисел и углов... и, возможно, музыки.”
Рафаэль Араужо

Недавно, прогуливаясь по страницам интернета, я наткнулась на картины одного итальянского художника. Они поразили меня необыкновенной красотой и техникой исполнения. Используя математические расчеты и чертежные инструменты, Рафаэль Араужо иллюстрирует проявление геометрии в природе. Его произведения искусства напоминают рисунки Леонардо да Винчи и графику Эшера.

Читать далее