Формула Бернулли.

Формула Бернулли. 6

Производятся испытания, в каждом из которых может появиться событие A или не появиться событие A. Если вероятность события A в одном испытании не зависит от появления его в любом другом, то испытания называются независимыми относительно события A.

Пример независимых событий:

  • бросание монеты, кубика,
  • стрельба по мишени.

Пусть вероятность появления события A в каждом опыте постоянна и равна р. Тогда вероятность того, что в n независимых испытаниях событие A появится ровно k раз, рассчитывается по формуле:

Формула Бернулли. 7

где Cnk — число сочетаний, q = 1 − p.

Примеры:

  1. Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Что вероятнее: выиграть 1 партию из 2 или 2 партии из 4 (ничьи во внимание не принимаются).
    Решение: Поскольку играют равносильные шахматисты, то вероятность выигрыша равна 0,5. Пусть A — это событие выигрыша 1 партии из двух, а B - это событие выигрыша 2 партий из 4. Пользуясь формулой Бернулли, находим вероятности:

    1. P(A)=2!·0,5·0,5=0,5,
    2. P(B)=4!/(2!(4-2)!)·0,52·0,52=(24/4)·0,25·0,25=0,375.

    Так как P(A)>P(B), то вероятней всего выиграть 1 партию из 2, чем 1 партию из 4.

  2. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для стрелка равна 0,7 и не зависит от номера выстрела. Найти вероятность того, что при 4 выстрелах произойдет ровно 3 попадания в мишень.
    Решение: Пользуясь формулой Бернулли, находим вероятность: P4(3)=4!/3!·0,73·0,3=0,4116.
  3. Подбрасывается 5 симметричных монет. Найти вероятность, что выпало ровно 2 герба.
    Решение: В данном случае p=q=0,5. Пользуясь формулой Бернулли, находим вероятность: P5(2)=5!/3!/2!·0,52·0,53=0,3125.
Читать далее

Геометрическая вероятность.

Какова вероятность встречи двух подруг, если они договорились встретиться в определенном месте, с 18:00 до 19:00 часов и будут ждать друг друга в течение 15 минут?

Геометрическая вероятность. 8

Классическое определение вероятности предполагает, что число элементарных исходов конечно. На практике, наоборот, большинство исходов бесконечно. Как, например, в задаче, которая приведена в аннотации данной статьи.  Для решения задач с бесконечными исходами, придумали геометрические вероятности - вероятности попадания точки в область.

Алгоритм решения задач на геометрическую вероятность:

  1. Найти меру всей области(длину, площадь, объем),
  2. Найти меру "полезной" области(длину, площадь, объем),
  3. Найти отношение меры "полезной" области ко всей области. Это и будет искомая вероятность.

Геометрическая вероятность. 9Вернемся к нашей задаче. Обозначим за x и y время прихода подруг. Пусть x - время прихода первой подруги, а y - время прихода второй подруги. Так как они могут прийти в течении часа, то 0<=x<=60(минут) и 0<=y<=60(минут). Встретится они смогут только, если между моментами из прихода будет не более 15 минут. То есть, |x-y|<15.

Найдем меру всей области. В нашем случае, область является квадратной. Длина квадрата равняется 60. Площадь квадрата 3600.

Найдем меру "полезной" области. Из площади всей области вычтем меру "ненужной".  3600- 2025=1575.

Найдем отношение меры "полезной" области ко всей области. 1575/3600=0,4375.

Следовательно, вероятность встречи двух друзей равна 0,4375.

Попробуйте определить, какова будет вероятность встречи двух друзей, если они договорились встретиться с 10:30 до 12:30 и будут ждать друг друга в течении 10 минут, а 15 минут? Ответ пишите в комментариях.

Читать далее

Размещения и сочетания.

Сколько вариантов подбора четырехзначного кода, состоящего только из цифр? А из букв латинского алфавита? Прочитав данную статью до конца, вы сможете решить данные задачи без проблем. Итак, начнем.

Размещениями называют множества, составленные из n элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком.

Число всех возможных размещений, если все n элементы различны, определяется формулой:

 A=n·(n-1)·(n-2)·...·(n-m+1).

Число размещений по m с повторениями из n элементов равно nm. Таким образом: A(c повторениями)=nm.

Примеры:

  1. Сколько способов выбрать старосту и заместителя старосты из 25 кандидатов?
    Решение:
    25·24=600
    Ответ: 600.
  2. Сколькими способами девочка Кристи может разложить 6 кукол по трём ящикам, если каждый ящик может вместить все куклы?
    Решение:
    A=312 =531441
    Ответ: 531441.

Сочетаниями из n элементов по m называются множества, содержащие m элементов из числа n заданных, и которые отличаются хотя бы одним элементом.

Число сочетаний из n элементов по m обозначают: С(m,n).

Число всех возможных сочетаний, если все n элементы различны, определяется формулой:

С(m,n)=n!/(m!(n-m)!).

Число сочетаний с  повторениями равно: С(m,n) с повт. = С(m,n+m-1).

Полагают, что С(0,n)=1.

Для количества сочетаний справедливы равенства:

  1. С(m,n)=C(n-m,n),
  2. C(m+1,n+1)=C(m,n)+C(m+1,n),
  3. C(0,n)+C(1,n)+C(2,n)+...+C(n-1,n)+C(n,n)=2(число всех подмножеств множества, состоящего из n элементов равно 2n).

Примеры:

  1. Сколько способов выбрать три лица на три одинаковые должности из 25 кандидатов?
    Решение:
    С(3,25)=25!/(3!(22)!)=(23·24·25)/6=2300
    Ответ: 2300.
  2. В почтовом отделении продаются открытки 10 сортов. Сколькими способами можно купить в нем 12 открыток?
    Решение:
    С(12,10)=С(12,12+10-1)=С(12,21)=21!/(12!(21-12)!)=293930
    Ответ: 293930.
Читать далее

Элементы комбинаторики. Перестановки.

Элементы комбинаторики. Перестановки. 10

Множества элементов, состоящие из одних и тех же различных элементов и отличающиеся друг от друга только их порядком, называются перестановками этих элементов.

В перестановках элементы только переставляют. Поменяв местами любые два элемента множества, мы получим новую перестановку. Количество возможных перестановок множества из n элементов обозначают: Pn.

Алгоритм нахождения перестановок:

  1. Выберем элемент, который будет находиться на первом месте. Количество способов его выбрать равняется количеству элементов. Всего n элементов, значит количество способов тоже n.
  2. Так как первый элемент уже на месте, то количество элементов которые ещё не на месте уменьшается на единицу. На второе место мы можем поставить n-1 элемента.
  3. На третье место n-2 элемента.
  4. На четвертое n-3 элемента.
  5.  ...

n. На n-ое место оставшийся элемент.

Зная как находятся перестановки и используя правило произведения из комбинаторики, найдем количество перестановок множества из n элементов.

Pn=n·(n-1)·(n-2)·(n-3)·...·1=n!

n! - произведение n первых натуральных чисел (читается как "эн факториал")

Замечание: 

Пустое множество можно упорядочить только одним способом. Полагают, что 0!=1.

Примеры:

  1. Сколько различных способов выстроиться в ряд компании из 6 человек?

    Решение:

    P6=6·(6-1)·(6-2)·(6-3)·...·1=6!=720.

    Ответ: 720.

  2. Сколько различных чисел можно составить из цифр 1, 2 и 3?

    Решение:

    P3=3·(3-1)·(3-2)=3!=6.

    Ответ: 6.

Выше предполагалось, что все элементы различны. Если же некоторые элементы повторяются, то число перестановок с повторениями определяется следующей формулой.

Pn(n1,n2,n3,...,nk)=n!/(n1!·n2!·n3!·...·nk!)

Примеры:

  1. Сколько различных перестановок букв можно сделать в слове: М,А,Т,Е,М,А,Т,И,К,А?

     Решение:

     Количество букв равно 10.

     Буква М повторяется 2 раза, буква А - 3 раза, буква Т - 2 раза, буквы И и К по одному разу.

     P10(2,3,2,1,1)=10!/(2!·3!·2!·1!·1!)=3628800/(2·6·2·1·1)=151200

    Ответ: 151200.

  2. Сколько различных шестизначных чисел можно составить из цифр 1, 1, 2, 2, 2, 3?

     Решение:

     P6(1,2,3)=6!/(1!·2!·3!)=720/12=60.

    Ответ: 60.

Читать далее