Загадочный треугольник.

Математический софизм – утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки. Особенно часто в софизмах выполняют "запрещенные" действия или не учитываются условия применимости теорем, формул и правил. В Греции софистами называли ораторов - философов-учителей, задачей которых было научить своих учеников убедительно защитить любую точку зрения.

Рассмотрим популярный софизм "Загадочный треугольник".

Дан прямоугольный треугольник 13*5 клеток, составленный из четырёх фигур.

После перестановки фигур при визуальном сохранении изначальных пропорций появляется дополнительная, не занятая ни одной частью, клетка. Но мы же понимаем, что такого быть не может. Найдите ошибку. Ответ пишите в комментариях.

скачанные файлы

Читать далее

Признаки делимости.

Признак делимости — это правило, позволяющее быстро определить, является ли число кратным заранее заданному числу, без необходимости выполнять деление.

Признак делимости на 2

Если последняя цифра в записи натурального 02, 4, 6 или 8, то это число делится на 2 без остатка. Если последняя цифра натурального числа нечетная (1, 3, 5, 7, 9), то число на 2 без остатка не делится.

Примеры:

  • 87654 делится на 2, так как последняя цифра 4;
  • 876543 не делится на 2, так как последняя цифра 3.
Признак делимости на 4

Число делится на 4 тогда и только тогда, когда две последние цифры этого числа образуют число, которое делится на 4.

Примеры:

  • 3200 делится на 4, так как 0 делится на 4;
  • 4808 делится на 4, так как 8 делится на 4;
  • 3453 не делится на 4, так как 53 не делится на 4.
Признак делимости на 8

Число делится на 8 тогда и только тогда, когда три последние цифры этого числа образуют число, которое делится на 8.

Примеры:

  • 32800 делится на 8, так как 800 делится на 8;
  • 48043 не делится на, 8 так как 43  не делится на 8.
Примеры:

Признак делимости на 2n

Число делится на 2(n - натуральное число) тогда и только тогда, когда n последних цифр этого числа образуют число, которое делится на 2n.

Пример:

  • 45686400 делится на 16, так как 6400 делится на 16;
  • 67832000 делится на 32, так как 32000  делится на 32.
Признак деления натурального числа на 5

Натуральное число делится на 5 без остатка в том случае, если оно оканчивается на 0 или на 5.  Если последняя цифра натурального числа не 0 и не 5,  то число на 5 без остатка не делится.

Примеры:

  • 4560 делится на 5, так как оканчивается на 0;
  • 48043 не делится на 5, так как оканчивается на 3.
Признак деления натурального числа на 10

Натуральное число делится на 10 без остатка только в том случае, если оно оканчивается на нуль. Если последняя цифра натурального числа не 0, то число на 10 без остатка не делится.

Примеры:

  • 4560 делится на 10, так как оканчивается на 0;
  • 62не делится на 10, так как не оканчивается на 0.
Признак делимости на 3

Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма цифр этого числа делится на 3.

Примеры:

  • 345 делится на 3, так как 3+4+5=12 делится на 3;
  • 223 не делится на 3, так как 2+2+3=7 не делится на 3.
Признак делимости на 9

Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма цифр этого числа делится на 9.

Примеры:

  • 345 не делится на 9, так как 3+4+5=12  не делится на 9;
  • 65223 делится на 9, так как 6+5+2+2+3=18 делится на 9.
Признак делимости на 7

Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7.

Примеры:

  • 357 делится на 7, так как 35-2·7=21 делится на 7;
  • 223 не делится на 7, так как 22-2·3=16 не делится на 7.
Признак делимости на 11

Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма цифр, которые стоят на четных местах, равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах, либо отличается от неё на число, которое делится на 11.

Примеры:

  • 3597 делится на 11, так как 3+9=7+5;
  • 2243 не делится на 11, так как 2+4≠2+3.
 Признак делимости на 13

Число делится на 13 тогда и только тогда, когда сумма десятков и единиц увеличенных в 4 раза кратна 13.

Число делится на 13 тогда и только тогда, когда модуль разности числа, которое образовано тремя последними цифрами, и числа, которое образовано из оставшихся цифр, кратен 13.

Примеры:

  • 234 делится на 13, так как 23+4·4=39 делится на 13;
  • 4292288 делится на 13, так как 4292-288=4004, а 4-4=0 делится на 13.
Читать далее

История математики для младших школьников.

Мультфильм об истории математики

Путешествие Дональд Дака в удивительный мир математики. История математики от Пифагорейцев до наших дней.

Дональд побывает в магическом мире чисел, где раскроет удивительные тайны математики и сделает полезный вывод, что без умения считать, дверь в будущее будет закрыта. Его путешествие начнётся с древней Греции, когда великий прародитель всех учёных Пифагор, обнаружил неразрывную связь и закономерность всего что нас окружает, с математикой и геометрией. Пройдя через множество любопытных сравнений, наглядных примеров и гениальных открытий, Дональд поменяет свой взгляд на точные науки и научится смотреть на мир с точки зрения цифр.

Читать далее

Чудеса фрактальной графики.

Слово фрактал образовано от латинского fractus и в переводе означает состоящий из фрагментов. Оно было предложено Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался. Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Мандельброта "The Fractal Geometry of Nature". В его работах использованы научные результаты других ученых, работавших в период 1875-1925 годов в той же области (Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф).

Основной упор в своем изложении Мандельброт сделал не на тяжеловесные формулы и математические конструкции, а на геометрическую интуицию читателей. Благодаря иллюстрациям, полученным при помощи компьютера, и историческим байкам, которыми автор умело разбавил научную составляющую монографии, книга стала бестселлером, а фракталы стали известны широкой публике. Их успех среди нематематиков во многом обусловлен тем, что с помощью весьма простых конструкций и формул, которые способен понять и старшеклассник, получаются удивительные по сложности и красоте изображения. Когда персональные компьютеры стали достаточно мощными то появилось даже целое направление в искусстве — фрактальная живопись, причем заниматься ею мог практически любой владелец компьютера.

Создаваемая с помощью математических формул фрактальная графика в настоящее время завоевывает все больше поклонников. Для ее создания не нужны карандаши или краски, все проще и сложнее одновременно.
Для примера, итальянская художница Сильвия Кордедда (Silvia Cordedda) создает, без преувеличения, потрясающей красоты картины, которые являются результатом расчетов фрактальных объектов с последующим визуальным отображением. Сильвию привлекла особенность фракталов повторять очертания цветов. Используя специализированные программы автор «выращивает» растения, которые не встретишь в реальном мире.

fractalSЧудеса фрактальной графики. 6

Читать далее