Парадокс Монти Холла.

<i class="fa fa-film"></i>Парадокс Монти Холла. 6

Парадокс Монти Холла — задача теории вероятности, решение которой, на первый взгляд, противоречит здравому смыслу. Над этой задачей люди ломают головы с 1975 года.

Парадокс получил название в честь ведущего популярного американского телешоу «Let’s Make a Deal». В этом телешоу игроки выбирали одну из трех дверей: за одной из которой прятался автомобиль, а за двумя другими козы. Когда игрок выбирал дверь, ведущий открывал одну из не выбранных дверей. И показывал, что за ней находится. Если там находится коза, игроку предлагалось поменять свое решение.

Вопрос: Стоит ли менять свое решение? Увеличатся, уменьшатся или останутся без изменения шансы выиграть новый автомобиль при изменении решения?

Давайте разберем данную задачу.

Допустим, игрок первоначально выбрал "Дверь №1". Вероятность того, что приз за выбранной дверью, равна 1/3. После того как ведущий открыл дверь, за которой прячется коза, появились следующие варианты развития события:

Дверь №1 Дверь №2 Дверь №3 Результат, если менять выбор Результат, если не менять выбор
Авто Коза Коза Коза Авто
Коза Авто Коза Авто Коза
Коза Коза Авто Авто Коза

Видим, если игрок поменяет свой выбор, вероятность выиграть вырастет и станет равным 2/3. Проиграет он только в том случае, если изначально выбрал правильную дверь. А если он не будет менять свой выбор, то вероятность выигрыша останется прежней(1/3).

Следовательно, игроку выгоднее поменять свой выбор.

Парадокс Монти Холла упоминается в фильме Роберта Лукетича «Двадцать одно», романе Сергея Лукьяненко «Недотёпа», телесериале «4исла», повести Марка Хэддона «Загадочное ночное убийство собаки», комиксе «XKCD» и так далее. Отрывок из фильма "Двадцать одно" представлен ниже.

Читать далее

Математика и биология.

Какой математической последовательностью описывается расположение листьев на ветках растений?

Листья на ветке растения всегда располагаются в строгом порядке, отстоя друг от друга на определённый угол по или против часовой стрелки. Величина угла разная у различных растений, но её всегда можно описать дробью, в числителе и знаменателе которой — числа из ряда Фибоначчи. Например, у бука этот угол равен 1/3, или 120°, у дуба и абрикоса — 2/5, у груши и тополя — 3/8, у ивы и миндаля — 5/13. Такое расположение позволяет листьям наиболее эффективно получать влагу и солнечный свет.

Ниже представлено замечательное видео о гармонии природы и чисел от Cristobal Vila. Прослеживается связь математики с биологией.

Читать далее

Загадочный треугольник.

Математический софизм – утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки. Особенно часто в софизмах выполняют "запрещенные" действия или не учитываются условия применимости теорем, формул и правил. В Греции софистами называли ораторов - философов-учителей, задачей которых было научить своих учеников убедительно защитить любую точку зрения.

Рассмотрим популярный софизм "Загадочный треугольник".

Дан прямоугольный треугольник 13*5 клеток, составленный из четырёх фигур.

После перестановки фигур при визуальном сохранении изначальных пропорций появляется дополнительная, не занятая ни одной частью, клетка. Но мы же понимаем, что такого быть не может. Найдите ошибку. Ответ пишите в комментариях.

скачанные файлы

Читать далее

Признаки делимости.

Признак делимости — это правило, позволяющее быстро определить, является ли число кратным заранее заданному числу, без необходимости выполнять деление.

Признак делимости на 2

Если последняя цифра в записи натурального 02, 4, 6 или 8, то это число делится на 2 без остатка. Если последняя цифра натурального числа нечетная (1, 3, 5, 7, 9), то число на 2 без остатка не делится.

Примеры:

  • 87654 делится на 2, так как последняя цифра 4;
  • 876543 не делится на 2, так как последняя цифра 3.
Признак делимости на 4

Число делится на 4 тогда и только тогда, когда две последние цифры этого числа образуют число, которое делится на 4.

Примеры:

  • 3200 делится на 4, так как 0 делится на 4;
  • 4808 делится на 4, так как 8 делится на 4;
  • 3453 не делится на 4, так как 53 не делится на 4.
Признак делимости на 8

Число делится на 8 тогда и только тогда, когда три последние цифры этого числа образуют число, которое делится на 8.

Примеры:

  • 32800 делится на 8, так как 800 делится на 8;
  • 48043 не делится на, 8 так как 43  не делится на 8.
Примеры:

Признак делимости на 2n

Число делится на 2(n - натуральное число) тогда и только тогда, когда n последних цифр этого числа образуют число, которое делится на 2n.

Пример:

  • 45686400 делится на 16, так как 6400 делится на 16;
  • 67832000 делится на 32, так как 32000  делится на 32.
Признак деления натурального числа на 5

Натуральное число делится на 5 без остатка в том случае, если оно оканчивается на 0 или на 5.  Если последняя цифра натурального числа не 0 и не 5,  то число на 5 без остатка не делится.

Примеры:

  • 4560 делится на 5, так как оканчивается на 0;
  • 48043 не делится на 5, так как оканчивается на 3.
Признак деления натурального числа на 10

Натуральное число делится на 10 без остатка только в том случае, если оно оканчивается на нуль. Если последняя цифра натурального числа не 0, то число на 10 без остатка не делится.

Примеры:

  • 4560 делится на 10, так как оканчивается на 0;
  • 62не делится на 10, так как не оканчивается на 0.
Признак делимости на 3

Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма цифр этого числа делится на 3.

Примеры:

  • 345 делится на 3, так как 3+4+5=12 делится на 3;
  • 223 не делится на 3, так как 2+2+3=7 не делится на 3.
Признак делимости на 9

Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма цифр этого числа делится на 9.

Примеры:

  • 345 не делится на 9, так как 3+4+5=12  не делится на 9;
  • 65223 делится на 9, так как 6+5+2+2+3=18 делится на 9.
Признак делимости на 7

Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7.

Примеры:

  • 357 делится на 7, так как 35-2·7=21 делится на 7;
  • 223 не делится на 7, так как 22-2·3=16 не делится на 7.
Признак делимости на 11

Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма цифр, которые стоят на четных местах, равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах, либо отличается от неё на число, которое делится на 11.

Примеры:

  • 3597 делится на 11, так как 3+9=7+5;
  • 2243 не делится на 11, так как 2+4≠2+3.
 Признак делимости на 13

Число делится на 13 тогда и только тогда, когда сумма десятков и единиц увеличенных в 4 раза кратна 13.

Число делится на 13 тогда и только тогда, когда модуль разности числа, которое образовано тремя последними цифрами, и числа, которое образовано из оставшихся цифр, кратен 13.

Примеры:

  • 234 делится на 13, так как 23+4·4=39 делится на 13;
  • 4292288 делится на 13, так как 4292-288=4004, а 4-4=0 делится на 13.
Читать далее