Прямая Симсона.

Прямая Симсона. 6

Теорема.

Основания перпендикуляров, опущенных из точки описанной окружности треугольника на его стороны или их продолжения, лежат на одной прямой.

Эта прямая называется прямой Симсона.

Доказательство.

Четырехугольник AEFD — вписанный в окружность с диаметром AD, так как ∠AED=∠AFD=90°. Следовательно, ∠AFE=∠ADE.

Четырехугольник DFCG — вписанный, так как ∠DFC+∠DGC=180°. Следовательно, ∠CFG=∠CDG.

∠BAD+∠DCB=180° (свойство вписанного четырехугольника ABCD).

∠DCG=180°-∠DCB (свойство смежных углов).

Следовательно, ∠EAD=∠BAD=180°-∠DCB=∠DCG.

90°-∠CFG=90°-∠CDG=∠DCG=∠EAD=90°-∠ADE=90°-∠AFE.

Итак, ∠CFG=∠AFE. Следовательно, E, F, G лежат на одной прямой.

Читать далее

Точка Нагеля.

Точка Нагеля — точка пересечения чевиан, соединяющих вершины треугольника и точки пересечения сторон треугольника с соответствующими вневписанными окружностями.

Свойства:

  1. Точка Нагеля лежит на одной прямой с инцентром и центроидом;
  2. Центроид делит отрезок между точкой Нагеля и инцентром в отношении 2:1. На рисунке: NM:MI=2:1.
Читать далее

Точка Жергонна треугольника.

Теорема.

Три чевианы, соединяющие вершины треугольника с точками пересечения вписанной окружности и сторон треугольника, пересекаются в одной точке.

Точка Жергонна треугольника. 8

Доказательство.

Пусть D, E, F — точки пересечения вписанной окружности и сторон треугольника BC, AC и AB соответственно.

AF=AE, BF=BD, CD=CE (свойство отрезков касательных, проведенных из одной точки, к окружности).

Следовательно:

Точка Жергонна треугольника. 9

По теореме Чевы отрезки AD, BE и СF пересекаются в одной точке.

Точка Жергонна — точка пересечения чевиан треугольника, соединяющих вершины треугольника с точками пересечения вписанной окружности и сторон треугольника.

Теорема Жергонна.

Пусть G — точка Жергонна треугольника ABC и D, E, F — точки пересечения вписанной окружности и сторон треугольника BC, AC и AB соответственно. Тогда выполняются следующие равенства:

Точка Жергонна треугольника. 10
Читать далее

Точка Лемуана треугольника.

Точка Лемуана треугольника. 11

Симедиана треугольника — чевиана треугольника, симметричная медиане треугольника относительно биссектрисы угла, проведенной из того же угла, что и медиана данного треугольника.

На рисунке CC', BB' и AA' — симедианы треугольника. Они симметричны медианам СD, BF и AE относительно биссектрис углов соответственно.

Основное свойство симедианы треугольника:

Отрезки, на которые симедиана делит противоположную сторону, пропорциональны квадратам прилежащих сторон.

Точка Лемуана треугольника. 12

Точка Лемуана — точка пересечения симедиан треугольника.

Свойства:

  1. Точка Лемуана является центроидом треугольника, образованного её проекциями на стороны исходного треугольника;
  2. Расстояния от точки Лемуана до сторон треугольника пропорциональны длинам сторон;
  3. Сумма квадратов расстояний от точки Лемуана до сторон треугольника минимальна.
Точка Лемуана треугольника. 13
Читать далее