Царство математики

Ортоцентр — точка пересечения прямых, содержащих высоты треугольника.

Ортоцентр остроугольного треугольника лежит внутри треугольника.

Ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла.

Ортоцентр тупоугольного треугольника лежит вне треугольника.

Свойства:

1. Точка, симметричная ортоцентру относительно стороны треугольника, лежит на описанной около него окружности.
   
2. Точка, симметричная ортоцентру относительно середины стороны треугольника, лежит на описанной окружности и диаметрально противоположна вершине треугольника, противолежащей стороне.
3. Расстояние от вершины треугольника до ортоцентра в два раза больше расстояния от центра описанной окружности до противолежащей стороны.
   
4. Сумма квадратов расстояния от вершины треугольника до ортоцентра и длины стороны, противолежащей этой вершине, равна квадрату диаметра описанной окружности.
5. Радиус описанной окружности, проведенный к вершине треугольника, перпендикулярен соответствующей стороне ортотреугольника.
   
6. При изогональном сопряжении ортоцентр переходит в центр описанной окружности.
   
7. Ортоцентр в остроугольном треугольнике является инцентром ортотреугольника.
   
8. Три отрезка прямых, соединяющих ортоцентр с вершинами остроугольного треугольника, разбивают его на три треугольника, имеющих равные радиусы описанных окружностей. При этом одинаковый радиус этих трех окружностей равен радиусу окружности, описанной около исходного остроугольного треугольника.
   

Теорема.

Основания перпендикуляров, опущенных из точки описанной окружности треугольника на его стороны или их продолжения, лежат на одной прямой.

Эта прямая называется прямой Симсона.

Доказательство.

Четырехугольник AEFD — вписанный в окружность с диаметром AD, так как ∠AED=∠AFD=90°. Следовательно, ∠AFE=∠ADE.

Четырехугольник DFCG — вписанный, так как ∠DFC+∠DGC=180°. Следовательно, ∠CFG=∠CDG.

∠BAD+∠DCB=180° (свойство вписанного четырехугольника ABCD).

∠DCG=180°-∠DCB (свойство смежных углов).

Следовательно, ∠EAD=∠BAD=180°-∠DCB=∠DCG.

90°-∠CFG=90°-∠CDG=∠DCG=∠EAD=90°-∠ADE=90°-∠AFE.

Итак, ∠CFG=∠AFE. Следовательно, E, F, G лежат на одной прямой.

Точка Нагеля — точка пересечения чевиан, соединяющих вершины треугольника и точки пересечения сторон треугольника с соответствующими вневписанными окружностями.

Свойства:

1. Точка Нагеля лежит на одной прямой с инцентром и центроидом;
2. Центроид делит отрезок между точкой Нагеля и инцентром в отношении 2:1. На рисунке: NM:MI=2:1.

Теорема.

Три чевианы, соединяющие вершины треугольника с точками пересечения вписанной окружности и сторон треугольника, пересекаются в одной точке.

Доказательство.

Пусть D, E, F — точки пересечения вписанной окружности и сторон треугольника BC, AC и AB соответственно.

AF=AE, BF=BD, CD=CE (свойство отрезков касательных, проведенных из одной точки, к окружности).

Следовательно:

По теореме Чевы отрезки AD, BE и СF пересекаются в одной точке.

Точка Жергонна — точка пересечения чевиан треугольника, соединяющих вершины треугольника с точками пересечения вписанной окружности и сторон треугольника.

Теорема Жергонна.

Пусть G — точка Жергонна треугольника ABC и D, E, F — точки пересечения вписанной окружности и сторон треугольника BC, AC и AB соответственно. Тогда выполняются следующие равенства: