Комбинаторика | Царство математики

Теорема.

$(x_1+x_2+\ldots+x_k)^n=\sum_{\begin{matrix}n_1+n_2+\ldots+n_k=n\\n_i \geqslant 0, \forall i \in \left \{ 0, 1, \ldots, n\right \}\end{matrix}}{n!\over n_1!n_2!\ldots n_k!}x_1^{n_1}x_2^{n_2}\ldots x_k^{n_k}$

Доказательство.

Представим $(x_1+x_2+\ldots+x_k)^n$ как произведение скобок:

$(x_1+x_2+\ldots+x_k)^n=(x_1+x_2+\ldots+x_k) \cdot (x_1+x_2+\ldots+x_k) \cdot \ldots \cdot (x_1+x_2+\ldots+x_k).$

Для нахождения произведения надо из каждой скобки взять по одной переменной, перемножить взятые переменные друг с другом и полученные мономы сложить. Пусть $n_1$ — количество скобок, из которых мы возьмем $x_{1{$ , $n_{2}$ — количество скобок, из которых мы возьмем $x_{2}, .... , n_{k}$ — количество скобок, из которых мы возьмем $x_{k}$ . Мы получим моном: $x_{1}^{n_1} \cdot x_{2}^{n_2} \cdot \ldots \cdot x_{k}^{n_k}$ .

Ясно, что $n_1+n_2+\ldots+n_k=n$ и $n_i \geqslant 0, \forall i \in \left \{ 0, 1, \ldots, n\right \}.$

Посчитаем количество способов, которыми можно получить данный моном. Количество способов выбрать $x_1$ из $n$ скобок равно $C_{n}^{n_1}$ . Количество способов выбрать $x_2$ из $n-n_1$ скобок равно $C_{n-n_1}^{n_2}$ . Продолжая аналогичные рассуждения, получаем, что моном $x_{1}^{n_1} \cdot x_{2}^{n_2} \cdot \ldots \cdot x_{k}^{n_k}$ можно получить следующее количество раз:

$C_{n}^{n_1}\cdot C_{n-n_1}^{n_2}\cdot \ldots \cdot C_{n-n_1-n_2-\ldots-n_{k-1}}^{n_k}=\frac{n!}{n_1! \cdot (n-n_1)!}\cdot \frac{(n-n_1)!}{n_2! \cdot (n-n_1-n_2)!} \cdot \ldots \cdot \frac{(n-n_1-n_2-\ldots-n_{k-1})!}{n_k! \cdot (n-n_1-n_2-\ldots-n_{k-1}-n_k)}=\frac{n!}{n_1!\cdot n_2!\cdot \ldots \cdot n_k!}.$

Теорема доказана.

Пример 1. Раскройте скобки $(x+y+z)^3$ .

Решение.

$3=1+1+1$

$3=3+0+0=0+3+0=0+0+3$

$3=2+1+0=2+0+1=1+2+0=1+0+2=0+1+2=0+2+1$

$(x+y+z)^3=\frac{3!}{3!0!0!}\left (x^3+y^3+z^3 \right )+$

$+\frac{3!}{1!1!1!}xyz+$

$+\frac{3!}{0!1!2!} \cdot \left ( x^{0} \cdot y^{1} \cdot z^{2}+ x^{1} \cdot y^{0} \cdot z^{2}+x^{2}\cdot y^{1} \cdot z^{0} + x^{1} \cdot y^{2} \cdot z^{0}+ x^{0} \cdot y^{2} \cdot z^{1}+ x^{2} \cdot y^{0} \cdot z^{1} \right )$

$(x+y+z)^3=x^3+y^3+z^3+6xyz+3(yz^2+xz^2+x^2y+xy^2+y^2z+x^2z)$

Ответ: $(x+y+z)^3=x^3+y^3+z^3+6xyz+3yz^2+3xz^2+3x^2y+3xy^2+3y^2z+3x^2z.$

Пример 2. Найдите коэффициент при $xy^4$ после раскрытия скобок в выражении $(1+x+y)^5$ .

$5=0+1+4$

$\frac{5!}{0!1!4!}=5$

Ответ: 5.

Тренировочные задания

Найдите разложение бинома $(x+10)^5$ ;
Найдите разложение полинома $(x+y-z)^4$ ;
Найдите разложение полинома $(x+yz+z^2)^6$ ;
Раскройте скобки в выражении $(2+x+y)^3$ ;
Раскройте скобки в выражении $(1-x+xy)^{10}$ ;
Раскройте скобки в выражении $(x^2+x+y)^4$ ;
Найдите разложение полинома $(x^3+x-1)^7$ ;
Найдите разложение полинома $(\sqrt{x}-\sqrt[4]{x}+\sqrt[6]{x})^3$ ;
Найдите коэффициент при $x^2$ после раскрытия скобок в выражении $(x^3-x+1)^3$ ;
Найдите коэффициент при $x^6$ после раскрытия скобок в выражении $(x^2+\frac{1}{x})^9$ .