Ортоцентр.

Ортоцентр — точка пересечения прямых, содержащих высоты треугольника.

Ортоцентр. 1

Ортоцентр остроугольного треугольника лежит внутри треугольника.

Ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла.

Ортоцентр тупоугольного треугольника лежит вне треугольника.

Свойства:

  1. Точка, симметричная ортоцентру относительно стороны треугольника, лежит на описанной около него окружности.
    Ортоцентр. 2
  2. Точка, симметричная ортоцентру относительно середины стороны треугольника, лежит на описанной окружности и диаметрально противоположна вершине треугольника, противолежащей стороне.
  3. Расстояние от вершины треугольника до ортоцентра в два раза больше расстояния от центра описанной окружности до противолежащей стороны.
    Ортоцентр. 3
  4. Сумма квадратов расстояния от вершины треугольника до ортоцентра и длины стороны, противолежащей этой вершине, равна квадрату диаметра описанной окружности.
  5. Радиус описанной окружности, проведенный к вершине треугольника, перпендикулярен соответствующей стороне ортотреугольника.
    Ортоцентр. 4
  6. При изогональном сопряжении ортоцентр переходит в центр описанной окружности.
    Ортоцентр. 5
  7. Ортоцентр в остроугольном треугольнике является инцентром ортотреугольника.
    Ортоцентр. 6
  8. Три отрезка прямых, соединяющих ортоцентр с вершинами остроугольного треугольника, разбивают его на три треугольника, имеющих равные радиусы описанных окружностей. При этом одинаковый радиус этих трех окружностей равен радиусу окружности, описанной около исходного остроугольного треугольника.
    Ортоцентр. 7
Читать далее

Прямая Симсона.

Прямая Симсона. 8

Теорема.

Основания перпендикуляров, опущенных из точки описанной окружности треугольника на его стороны или их продолжения, лежат на одной прямой.

Эта прямая называется прямой Симсона.

Доказательство.

Четырехугольник AEFD — вписанный в окружность с диаметром AD, так как ∠AED=∠AFD=90°. Следовательно, ∠AFE=∠ADE.

Четырехугольник DFCG — вписанный, так как ∠DFC+∠DGC=180°. Следовательно, ∠CFG=∠CDG.

∠BAD+∠DCB=180° (свойство вписанного четырехугольника ABCD).

∠DCG=180°-∠DCB (свойство смежных углов).

Следовательно, ∠EAD=∠BAD=180°-∠DCB=∠DCG.

90°-∠CFG=90°-∠CDG=∠DCG=∠EAD=90°-∠ADE=90°-∠AFE.

Итак, ∠CFG=∠AFE. Следовательно, E, F, G лежат на одной прямой.

Читать далее

Точка Нагеля.

Точка Нагеля — точка пересечения чевиан, соединяющих вершины треугольника и точки пересечения сторон треугольника с соответствующими вневписанными окружностями.

Свойства:

  1. Точка Нагеля лежит на одной прямой с инцентром и центроидом;
  2. Центроид делит отрезок между точкой Нагеля и инцентром в отношении 2:1. На рисунке: NM:MI=2:1.
Читать далее

Точка Жергонна треугольника.

Теорема.

Три чевианы, соединяющие вершины треугольника с точками пересечения вписанной окружности и сторон треугольника, пересекаются в одной точке.

Точка Жергонна треугольника. 10

Доказательство.

Пусть D, E, F — точки пересечения вписанной окружности и сторон треугольника BC, AC и AB соответственно.

AF=AE, BF=BD, CD=CE (свойство отрезков касательных, проведенных из одной точки, к окружности).

Следовательно:

Точка Жергонна треугольника. 11

По теореме Чевы отрезки AD, BE и СF пересекаются в одной точке.

Точка Жергонна — точка пересечения чевиан треугольника, соединяющих вершины треугольника с точками пересечения вписанной окружности и сторон треугольника.

Теорема Жергонна.

Пусть G — точка Жергонна треугольника ABC и D, E, F — точки пересечения вписанной окружности и сторон треугольника BC, AC и AB соответственно. Тогда выполняются следующие равенства:

Точка Жергонна треугольника. 12
Читать далее