Полиномиальная теорема.

Теорема.

    \[(x_1+x_2+\ldots+x_k)^n=\sum_{\begin{matrix}n_1+n_2+\ldots+n_k=n\\n_i \geqslant 0, \forall i \in \left \{ 0, 1, \ldots, n\right \}\end{matrix}}{n!\over n_1!n_2!\ldots n_k!}x_1^{n_1}x_2^{n_2}\ldots x_k^{n_k}\]

Доказательство.

Представим (x_1+x_2+\ldots+x_k)^n как произведение скобок:

(x_1+x_2+\ldots+x_k)^n=(x_1+x_2+\ldots+x_k) \cdot (x_1+x_2+\ldots+x_k) \cdot \ldots \cdot (x_1+x_2+\ldots+x_k).

Для нахождения произведения надо из каждой скобки взять по одной переменной, перемножить взятые переменные друг с другом и полученные мономы сложить. Пусть n_1 — количество скобок, из которых мы возьмем x_{1{, n_{2} — количество скобок, из которых мы возьмем x_{2}, .... , n_{k} — количество скобок, из которых мы возьмем x_{k}. Мы получим моном: x_{1}^{n_1} \cdot x_{2}^{n_2} \cdot \ldots \cdot x_{k}^{n_k}.

Ясно, что n_1+n_2+\ldots+n_k=n и n_i \geqslant 0, \forall i \in \left \{ 0, 1, \ldots, n\right \}.

Посчитаем количество способов, которыми можно получить данный моном. Количество способов выбрать x_1 из n скобок равно C_{n}^{n_1}. Количество способов выбрать x_2 из n-n_1 скобок равно C_{n-n_1}^{n_2}. Продолжая аналогичные рассуждения, получаем, что моном x_{1}^{n_1} \cdot x_{2}^{n_2} \cdot \ldots \cdot x_{k}^{n_k} можно получить следующее количество раз:

C_{n}^{n_1}\cdot C_{n-n_1}^{n_2}\cdot \ldots \cdot C_{n-n_1-n_2-\ldots-n_{k-1}}^{n_k}=\frac{n!}{n_1! \cdot (n-n_1)!}\cdot \frac{(n-n_1)!}{n_2! \cdot (n-n_1-n_2)!} \cdot \ldots \cdot \frac{(n-n_1-n_2-\ldots-n_{k-1})!}{n_k! \cdot (n-n_1-n_2-\ldots-n_{k-1}-n_k)}=\frac{n!}{n_1!\cdot n_2!\cdot \ldots \cdot n_k!}.

Теорема доказана.

Пример 1. Раскройте скобки (x+y+z)^3.

Решение. 

3=1+1+1

3=3+0+0=0+3+0=0+0+3

3=2+1+0=2+0+1=1+2+0=1+0+2=0+1+2=0+2+1

    \[(x+y+z)^3=\frac{3!}{3!0!0!}\left (x^3+y^3+z^3 \right )+\]

    \[+\frac{3!}{1!1!1!}xyz+\]

    \[+\frac{3!}{0!1!2!} \cdot \left ( x^{0} \cdot y^{1} \cdot z^{2}+ x^{1} \cdot y^{0} \cdot z^{2}+x^{2}\cdot y^{1} \cdot z^{0} + x^{1} \cdot y^{2} \cdot z^{0}+ x^{0} \cdot y^{2} \cdot z^{1}+ x^{2} \cdot y^{0} \cdot z^{1} \right )\]

    \[(x+y+z)^3=x^3+y^3+z^3+6xyz+3(yz^2+xz^2+x^2y+xy^2+y^2z+x^2z)\]

Ответ: (x+y+z)^3=x^3+y^3+z^3+6xyz+3yz^2+3xz^2+3x^2y+3xy^2+3y^2z+3x^2z.

Пример 2. Найдите коэффициент при xy^4 после раскрытия скобок в выражении (1+x+y)^5.

5=0+1+4

\frac{5!}{0!1!4!}=5

Ответ: 5.

Тренировочные задания
  1. Найдите разложение бинома (x+10)^5;
  2. Найдите разложение полинома (x+y-z)^4;
  3. Найдите разложение полинома (x+yz+z^2)^6;
  4. Раскройте скобки в выражении (2+x+y)^3;
  5. Раскройте скобки в выражении (1-x+xy)^{10};
  6. Раскройте скобки в выражении (x^2+x+y)^4;
  7. Найдите разложение полинома (x^3+x-1)^7;
  8. Найдите разложение полинома (\sqrt{x}-\sqrt[4]{x}+\sqrt[6]{x})^3;
  9. Найдите коэффициент при x^2 после раскрытия скобок в выражении (x^3-x+1)^3;
  10. Найдите коэффициент при x^6 после раскрытия скобок в выражении (x^2+\frac{1}{x})^9.

 

Подписаться
Уведомить о
guest
0 Комментарий
Межтекстовые Отзывы
Посмотреть все комментарии