Прямая Эйлера.

В треугольнике центр описанной окружности, ортоцентр и точка пересечения медиан лежит на одной прямой, и расстояние от центра описанной окружности до ортоцентра в три раза больше расстояния от центра описанной окружности до точки пересечения медиан.Прямая Эйлера. 1 подготовка к ОГЭ, ЕГЭ и олимпиадам по математике

Доказательство:

Пусть Н — ортоцентр, M — точка пересечения медиан, O — центр описанной окружности.

Треугольники ABC и EFD подобны по трем сторонам с коэффициентом подобия 2.

AH/EO=2/1 (отрезки высот подобных треугольников).

AM/ME=2/1 (свойство точки пересечения медиан треугольника).

Следовательно, AH/EO=AM/ME.

Пусть G — точка пересечения отрезков AE и OH. 

Треугольники OEG и HAG подобны по 2 углам. Следовательно, GH/GO=AG/GE=AH/EO=2/1.

Следовательно, M=G.

Следствие 1:

Центр окружности, описанной около треугольника DEF является серединой отрезка OH.

Следствие 2:

Расстояние от вершины треугольника до его ортоцентра в два раза больше, чем расстояние от центра его описанной окружности до середины противолежащей стороны.

Подписаться
Уведомление о
guest
0 Комментарий
Inline Feedbacks
View all comments