Свойства и признаки вписанного четырехугольника.

Свойства и признаки вписанного четырехугольника. 1 подготовка к ОГЭ, ЕГЭ и олимпиадам по математике

Вписанный четырехугольникэто четырехугольник, все вершины которого лежат на одной окружности.

Центр окружности, описанной около четырехугольника — точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам четырехугольника.

Признаки вписанного четырехугольника

Для того, чтобы четырехугольник был вписанным, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из следующих равенств:

  • \angle BAD+\angle BCD=180^{\circ} (сумма противоположных углов равна 180^{\circ});
  • \angle ABD=\angle ACD (углы, опирающиеся на одну сторону равны);
  • AF \cdot FC=BF \cdot FD (F — точка пересечения диагоналей);
  • EA \cdot EB=EC \cdot ED (E — точка пересечения прямых AB и CD).

Специальные случаи

Любые квадраты, прямоугольники, равнобедренные трапеции можно вписать в окружность.

Свойства вписанного четырехугольника

  • Произведение диагоналей вписанного четырехугольника равняется сумме произведений его противолежащих сторон.
  • Диагонали вписанного четырехугольника относятся как суммы, произведений сторон, сходящихся в концах диагоналей.
  • Диагонали вписанного четырехугольника разбивают его на две пары подобных треугольников.
  • Сумма квадратов противолежащих сторон четырехугольника равна квадрату диаметра описанной окружности.
  • Сумма противолежащих углов четырехугольника равна 180^{\circ}.

Использование свойств и признаков вписанного четырехугольника при решении геометрических задач.

Задача 1. Высоты BE и CD остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке  F. Докажите, что \angle AFE= \angle  ACB .

Свойства и признаки вписанного четырехугольника. 2 подготовка к ОГЭ, ЕГЭ и олимпиадам по математике

Решение. Рассмотрим четырехугольник ADFE.

\angle ADF+\angle AEF=90^{\circ}+90^{\circ}=180^{\circ}.

Следовательно, вокруг четырехугольника ADFE можно описать окружность и по свойству вписанных углов, опирающихся на одну дугу \angle ADE=\angle AFE.

Рассмотрим четырехугольник CEDB.

\angle BEC=\angle CDB=90^{\circ}.

Следовательно, вокруг четырехугольника CEDB можно описать окружность и по свойству вписанного четырехугольника \angle ECB+\angle EDB =180^{\circ}.

 \angle EDB +\angle ADE = 180^{\circ} — свойство смежных углов.

Следовательно, \angle ECB+180^{\circ}-\angle ADE =180^{\circ}.

    \[\angle ECB =\angle ADE\]

    \[\angle ECB =\angle AFE\]

ч.т.д.

Задача 2. В остроугольном треугольнике  проведены высоты AD и CE. На них из точек E и D опущены перпендикуляры EF  и DG соответственно. Докажите, что прямые FG и AC параллельны.

Свойства и признаки вписанного четырехугольника. 3 подготовка к ОГЭ, ЕГЭ и олимпиадам по математике

Решение. Рассмотрим четырехугольник EDGF.

\angle EFD=\angle EGD=90^{\circ}.

Следовательно, вокруг четырехугольника EDGF можно описать окружность и по свойству вписанных углов, опирающихся на одну дугу \angle DFG=\angle DEC.

Рассмотрим четырехугольник AEDC.

\angle AEC=\angle ADC=90^{\circ}.

Следовательно, вокруг четырехугольника AEDC можно описать окружность и по свойству вписанных углов, опирающихся на одну дугу \angle DAC=\angle DEC.

    \[\angle DFG=\angle DEC=\angle DAC\]

\angle DFG=\angle DAC — соответственные углы, образованные при пересечении прямых FG и AC секущей AD.

Следовательно, прямые FG и AC параллельны.

ч.т.д.

Подписаться
Уведомление о
guest
0 Комментарий
Inline Feedbacks
View all comments