Свойства и признаки вписанного четырехугольника.

Вписанный четырехугольник — это четырехугольник, все вершины которого лежат на одной окружности.

Центр окружности, описанной около четырехугольника — точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам четырехугольника.

Признаки вписанного четырехугольника

Для того, чтобы четырехугольник был вписанным, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из следующих равенств:

$\angle BAD+\angle BCD=180^{\circ}$ (сумма противоположных углов равна $180^{\circ}$ );
$\angle ABD=\angle ACD$ (углы, опирающиеся на одну сторону равны);
$AF \cdot FC=BF \cdot FD$ ( $F$ — точка пересечения диагоналей);
$EA \cdot EB=EC \cdot ED$ ( $E$ — точка пересечения прямых $AB$ и $CD$ ).

Специальные случаи

Любые квадраты, прямоугольники, равнобедренные трапеции можно вписать в окружность.

Свойства вписанного четырехугольника

Произведение диагоналей вписанного четырехугольника равняется сумме произведений его противолежащих сторон.
Диагонали вписанного четырехугольника относятся как суммы, произведений сторон, сходящихся в концах диагоналей.
Диагонали вписанного четырехугольника разбивают его на две пары подобных треугольников.
Сумма квадратов противолежащих сторон четырехугольника равна квадрату диаметра описанной окружности.
Сумма противолежащих углов четырехугольника равна $180^{\circ}$ .

Использование свойств и признаков вписанного четырехугольника при решении геометрических задач.

Задача 1. Высоты $BE$ и $CD$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $F$ . Докажите, что $\angle AFE= \angle ACB$ .

Решение. Рассмотрим четырехугольник $ADFE$ .

$\angle ADF+\angle AEF=90^{\circ}+90^{\circ}=180^{\circ}$ .

Следовательно, вокруг четырехугольника $ADFE$ можно описать окружность и по свойству вписанных углов, опирающихся на одну дугу $\angle ADE=\angle AFE$ .

Рассмотрим четырехугольник $CEDB$ .

$\angle BEC=\angle CDB=90^{\circ}$ .

Следовательно, вокруг четырехугольника $CEDB$ можно описать окружность и по свойству вписанного четырехугольника $\angle ECB+\angle EDB =180^{\circ}$ .

$\angle EDB +\angle ADE = 180^{\circ}$ — свойство смежных углов.

Следовательно, $\angle ECB+180^{\circ}-\angle ADE =180^{\circ}$ .

$\angle ECB =\angle ADE$

$\angle ECB =\angle AFE$

ч.т.д.

Задача 2. В остроугольном треугольнике проведены высоты $AD$ и $CE$ . На них из точек $E$ и $D$ опущены перпендикуляры $EF$ и $DG$ соответственно. Докажите, что прямые $FG$ и $AC$ параллельны.

Решение. Рассмотрим четырехугольник $EDGF$ .

$\angle EFD=\angle EGD=90^{\circ}$ .

Следовательно, вокруг четырехугольника $EDGF$ можно описать окружность и по свойству вписанных углов, опирающихся на одну дугу $\angle DFG=\angle DEC$ .

Рассмотрим четырехугольник $AEDC$ .

$\angle AEC=\angle ADC=90^{\circ}$ .

Следовательно, вокруг четырехугольника $AEDC$ можно описать окружность и по свойству вписанных углов, опирающихся на одну дугу $\angle DAC=\angle DEC$ .

$\angle DFG=\angle DEC=\angle DAC$

$\angle DFG=\angle DAC$ — соответственные углы, образованные при пересечении прямых $FG$ и $AC$ секущей $AD$ .

Следовательно, прямые $FG$ и $AC$ параллельны.