Сложение и умножение вероятностей.

Спортсмен стреляет по мишени, разделенной на 2 сектора. Вероятность попадания в первый сектор равна 0,4, а во второй — 0,3. Какова вероятность попадания либо в первый, либо во второй сектор?

Чтобы решить данную задачу, нужно знать принципы сложения вероятностей. Событие «попадание в первый сектор» и «попадание во второй сектор» несовместны, так как попадание в 1 сектор исключает попадание во второй.

Так как в вопросе союз либо, значит нужно найти сумму вероятностей двух событий. Суммой, или объединением, двух событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из них.

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

P(A+B)=P(A)+P(B).

Следовательно, P(A+B)=0,3+0,4=0,7.

Представим другую ситуацию: 2 спортсмена стреляют по 1 выстрелу в 1 мишень.

Вероятность попадания в мишень для первого спортсмена равна 0,3, а для второго — 0,4. Спортсмены независимо друг от друга сделали по одному выстрелу. Найти вероятность того, что в мишень попадет хотя бы один спортсмен?

События «попадание первого спортсмена» и «попадание второго спортсмена» совместны, так как попадание первого спортсмена не исключает попадание второго. Нужно найти вероятность, что в мишень попадет хотя бы один спортсмен. Значит, мы опять имеем дело с суммой вероятностей.  Введем обозначения: A=»попадание первого спортсмена» и B=»попадание второго спортсмена».

Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).

Так как события A и B независимы друг от друга, то для них верна формула произведения двух независимых событий:

P(AB)=P(A)P(B).

В общем случае, вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

P(A1…An)=P(A1)P(A2)…P(An).

Подставим значения и решим задачу: P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0,3+0,4+0,3•0,4=0,82.

Сверху рассматривалась формула произведения вероятностей независимых событий, а что же делать, если события зависимы?

Вероятность произведения двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло:

P(AB)=P(A)P(B/A)   или   P(AB)=P(B)P(A/B).

Событие B не зависит от события A, если P(B/A)=P(B), т.е. вероятность события B не зависит от того, произошло ли событие A.

Вероятность произведения n событий равна произведению одного из них на условные вероятности всех остальных, вычисленные в предположении, что все предыдущие события наступили:

P(A1…An)=P(A1)P(A2/A1)P(A3/A2A1)…P(An/A1…An-1).

Рассмотрим следующий пример:

В урне 6 голубых, 5 красных и 4 белых шара. Из урны поочередно извлекают шар, не возвращая его обратно. Найти вероятность того, что при первом извлечении появится голубой шар(событие G), при втором — красный(событие R), при третьем — белый(событие W).

Решение: 

Вероятность появления голубого шара при первом извлечении равна 6/(6+5+4)=6/15=2/5.

Вероятность появления красного шара во втором извлечении, вычисленная в предположении, что первым достали голубой шар, равна 5/(15-1)=5/14.

Вероятность появления белого шара, при условии, что 1 голубой и 1 красный уже достали, равна 4/(15-2)=4/13.

Так как нам нужно, чтобы все эти 3 события были истинны, то воспользуемся формулой произведения вероятностей.

P(G,R,W)=P(G)P(R/G)P(W/GR)=(2/5)(5/14)(4/13)=40/910≈0,044

Ответ: 0,044.

Замечание:

Вычисление вероятности суммы событий можно свести к вычислению вероятности произведения противоположных событий по формуле:

P(A1+A2+…+An )=1-P(B1·B2·…·Bn ),

где B1,B2,…,Bn — это противоположные события событиям A1,A2,…,An.

В частности, если события A1,A2,…,Aнезависимы, то

P(A1+A2+…+An )=1-q1q2…qn.

Если независимые события A1,A2,…,An имеют одинаковую вероятность, равную p, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий выражается формулой P(A1+A2+…+An )=1-qn.

Решим задачу:

Вероятность попадания в цель при стрельбе из трех орудий таковы: p1=0,75, p2=0,3, p3=0,7. Какова вероятность хотя бы одного попадания при одном залпе из всех этих орудий?

Решение: 

События «попадание из первого орудия»(A1), «попадание из второго орудия»(A2) и «попадание из третьего орудия»(A3) независимы в совокупности, так как вероятность попадания в цель из одного орудия не зависит от попадания в цель из других орудий.

Искомую вероятность найдем, подставив значения в формулу: P(A1+A2+A3 )=1-q1q2q3. Для того, чтобы её использовать, нужно найти вероятности событий, противоположных событиям A1,A2,A3.

q1=1-A1=1-0,75=0,25,
q2=1-A2=1-0,3=0,7,
q3=1-A3=1-0,7=0,3.

Подставляя в формулу найденные значения q1, q2, q3, находим P(A1+A2+A3 )=1-q1q2q3=1-0,25·0,7·0,3=0,9475.

Ответ: 0,9475.

В данной статье были рассмотрены на конкретных примерах теоремы сложения и умножения вероятностей. В частности: теоремы сложения вероятностей совместных, несовместных событий; теоремы произведения независимых и зависимых событий.

Проведена связь между вероятностью сложения событий и вероятностью произведения противоположных этим событиям событий.

Подписаться
Уведомление о
guest
0 Комментарий
Inline Feedbacks
View all comments