Текстовые задачи на движение по воде.

Текстовые задачи на движение по воде. 1 подготовка к ОГЭ, ЕГЭ и олимпиадам по математике

Задача 1. Баржа прошла по течению реки 40 км и, повернув обратно, прошла ещё 30 км, затратив на весь путь 5 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Решение.

Пусть x км/ч — собственная скорость баржи. Ограничение: x>5. x+5 — скорость баржи по течению, x-5 — скорость баржи против течения. Заполним таблицу.

Баржа

v (км/ч)

t (ч)

S (км)

по течению

x+5 5

40

против течения

x-5

30

\frac{40}{x+5} ч — время движения баржи по течению реки.

\frac{30}{x-5} ч — время движения баржи против течения реки.

На весь путь баржа затратила 5 часов. Составим и решим уравнение.

    \[\frac{40}{x+5}+\frac{30}{x-5}=5\]

    \[\frac{40(x-5)+30(x+5)-5(x^2-25)}{x^2-25}=0\]

    \[\frac{-5x^2+70x+75}{x^2-25}=0\]

    \[\frac{x^2-14x-15}{x^2-25}=0\]

    \[\left\{\begin{matrix}x^2-14x-15=0 \\ x^2-25\neq 0\end{matrix}\right.\]

    \[x=15\]

Ответ: 15 км/ч.

Задача 2.

Моторная лодка прошла против течения реки 208 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 5 часов меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Решение.

Пусть x км/ч — собственная скорость моторной лодки. Ограничение: x>5. x+5 — скорость моторной лодки по течению, x-5 — скорость моторной лодки против течения. y ч — время, затраченное на обратный путь.   Заполним таблицу.

Лодка

v (км/ч)

t (ч)

S (км)

по течению

x+5 y

208

против течения

x-5 y+5

208

Составим и решим уравнение. 

    \[\frac{208}{x-5}-\frac{208}{x+5}=y+5-y\]

    \[\frac{208}{x-5}-\frac{208}{x+5}=5\]

    \[\frac{208(x+5)-208(x-5)-5(x^2-25)}{x^2-25}=0\]

    \[\left\{\begin{matrix}x^2-441=0 \\ x^2-25\neq 0\end{matrix}\right.\]

    \[x=21\]

Ответ: 21.

Задача 3. Расстояние между пристанями А и В равно 140 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 51 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч.

Решение.

Пусть x км/ч — собственная скорость моторной лодки. Ограничение: x>3. x+3 — скорость моторной лодки по течению, x-3 — скорость моторной лодки против течения. y ч — время, затраченное лодкой на весь путь, тогда плот проплыл y+1 ч. Заполним таблицу.

 

v (км/ч)

t (ч)

S (км)

Лодка (по течению)

x+3 y

140

Лодка (против течения)

x-3

140

Плот

3 y+1

51

Найдем время движения плота.

    \[y+1=\frac{51}{3}=17\]

Плот проплыл 17 часов. Следовательно, лодка проплыла 16 часов.

Используя данные второй и третьей строки таблицы, составим и решим уравнение.

    \[\frac{140}{x+3}+\frac{140}{x-3}=16\]

    \[\frac{140(x+3)+140(x-3)-16(x^2-9)} {x^-9}=0\]

    \[\left\{\begin{matrix}x^2-17,5x-9=0 \\ x^2-9\neq 0\end{matrix}\right.\]

    \[x=18\]

Ответ: 18 км/ч.

Задача 4. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 280 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 4 км/ч, стоянка длится 15 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 39 часов после отплытия из него.

Решение.

Пусть x км/ч — собственная скорость теплохода. Ограничение: x>4. x+4 — скорость теплохода по течению, x-4 — скорость теплохода против течения.

Теплоход

v (км/ч)

t (ч)

S (км)

по течению

x+4 39-15=24

280

против течения

x-4

280

Составим и решим уравнение.

    \[\frac{280}{x+4}+\frac{280}{x-4}=24\]

    \[\frac{280(x-4)+280(x+4)-24(x^2-16)}{x^2-16}=0\]

    \[\frac{560x-24x^2+16 \cdot 24}{x^2-16}=0\]

    \[\frac{70x-3x^2+16 \cdot 3}{x^2-16}=0\]

    \[\frac{3x^2-70x-48}{x^2-16}=0\]

    \[\left\{\begin{matrix}3x^2-70x-48=0 \\ x^2-16\neq 0\end{matrix}\right.\]

    \[x=24\]

Ответ: 24 км/ч.