Школьная программа | Царство математики

Задача 1. Баржа прошла по течению реки 40 км и, повернув обратно, прошла ещё 30 км, затратив на весь путь 5 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Решение.

Пусть $x$ км/ч — собственная скорость баржи. Ограничение: $x>5$ . $x+5$ — скорость баржи по течению, $x-5$ — скорость баржи против течения. Заполним таблицу.

Баржа	v (км/ч)	t (ч)	S (км)
по течению	$x+5$	5	40
против течения	$x-5$	5	30

$\frac{40}{x+5}$ ч — время движения баржи по течению реки.

$\frac{30}{x-5}$ ч — время движения баржи против течения реки.

На весь путь баржа затратила 5 часов. Составим и решим уравнение.

$\frac{40}{x+5}+\frac{30}{x-5}=5$

$\frac{40(x-5)+30(x+5)-5(x^2-25)}{x^2-25}=0$

$\frac{-5x^2+70x+75}{x^2-25}=0$

$\frac{x^2-14x-15}{x^2-25}=0$

$\left\{\begin{matrix}x^2-14x-15=0 \\ x^2-25\neq 0\end{matrix}\right.$

$x=15$

Ответ: 15 км/ч.

Задача 2.

Моторная лодка прошла против течения реки 208 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 5 часов меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Решение.

Пусть $x$ км/ч — собственная скорость моторной лодки. Ограничение: $x>5$ . $x+5$ — скорость моторной лодки по течению, $x-5$ — скорость моторной лодки против течения. $y$ ч — время, затраченное на обратный путь. Заполним таблицу.

Лодка	v (км/ч)	t (ч)	S (км)
по течению	$x+5$	y	208
против течения	$x-5$	y+5	208

Составим и решим уравнение.

$\frac{208}{x-5}-\frac{208}{x+5}=y+5-y$

$\frac{208}{x-5}-\frac{208}{x+5}=5$

$\frac{208(x+5)-208(x-5)-5(x^2-25)}{x^2-25}=0$

$\left\{\begin{matrix}x^2-441=0 \\ x^2-25\neq 0\end{matrix}\right.$

$x=21$

Ответ: 21.

Задача 3. Расстояние между пристанями А и В равно 140 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 51 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч.

Решение.

Пусть $x$ км/ч — собственная скорость моторной лодки. Ограничение: $x>3$ . $x+3$ — скорость моторной лодки по течению, $x-3$ — скорость моторной лодки против течения. $y$ ч — время, затраченное лодкой на весь путь, тогда плот проплыл $y+1$ ч. Заполним таблицу.

	v (км/ч)	t (ч)	S (км)
Лодка (по течению)	$x+3$	y	140
Лодка (против течения)	$x-3$	y	140
Плот	3	y+1	51

Найдем время движения плота.

$y+1=\frac{51}{3}=17$

Плот проплыл 17 часов. Следовательно, лодка проплыла 16 часов.

Используя данные второй и третьей строки таблицы, составим и решим уравнение.

$\frac{140}{x+3}+\frac{140}{x-3}=16$

$\frac{140(x+3)+140(x-3)-16(x^2-9)} {x^-9}=0$

$\left\{\begin{matrix}x^2-17,5x-9=0 \\ x^2-9\neq 0\end{matrix}\right.$

$x=18$

Ответ: 18 км/ч.

Задача 4. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 280 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 4 км/ч, стоянка длится 15 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 39 часов после отплытия из него.

Решение.

Пусть $x$ км/ч — собственная скорость теплохода. Ограничение: $x>4$ . $x+4$ — скорость теплохода по течению, $x-4$ — скорость теплохода против течения.