Теорема Птолемея.

Теорема Птолемея. 1

Теорема. Произведение диагоналей четырехугольника, вписанного в окружность, равно сумме произведений противоположных сторон этого четырехугольника.

Доказательство.

Отложим от луча СD угол DCK равный углу ACB. CK∩DB=E. 

Рассмотрим ΔDCE и ΔACB:

  1. ∠δ=∠γ (вписанные углы, опирающиеся на дугу BC);
  2. ∠ε=∠ζ (по построению).

Следовательно, ΔDCE подобен ΔACB по 2 углам.

DC/AC=DE/AB=CE/CB.

Выразим DE через AC, AB и DC: DE=(DC·AB)/AC (1).

Рассмотрим ΔDCA и ΔBCE :

  1. ∠α=∠β (вписанные углы, опирающиеся на дугу DC);
  2. ∠DCA=∠ECB (по построению).

Следовательно, ΔDCA подобен ΔECB по 2 углам.

DC/EC=DA/EB=CA/CB.

Выразим EB через AC, CB и DA: EB=(DA·CB)/AC (2).

Сложим почленно равенства (1) и (2):

DE+EB=(DC·AB+DA·CB)/AC;

DB=(DC·AB+DA·CB)/AC;

DB·AC=DC·AB+DA·CB.

Читать далее

Теорема Вариньона.

Теорема. Середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма, стороны которого равны половинам диагоналей данного четырехугольника, а площадь — половине площади данного четырехугольника.

Пример.

Теорема Вариньона. 2

Доказательство.

HE — средняя линия треугольника ABD. Следовательно, HE||BD и HE=0,5·BD.

FG — средняя линия треугольника BCD. Следовательно, FG||BD и FG=0,5·BD.

Следовательно, отрезки HE и FG равны и параллельны, следовательно HEFGпараллелограмм.

Докажем, что площадь параллелограмма HEFG равна половине площади четырехугольника.

Пусть BD∩AC=O, тогда

SABCD=0,5·AC·BD·sin∠BOC

SHEFG=HG·HE·sin∠EHG

Пусть EH∩AC=K, тогда ∠BOC=∠EKC как соответственные углы при параллельных прямых HE и BD и секущей AC.

∠EKC=∠EHG как соответственные углы при параллельных прямых AC и HG и секущей EH.

Следовательно, ∠BOC=∠EHG.

SHEFG=HE·HG·sin∠EHG;

SHEFG=HE·HG·sin∠BOC;

SHEFG=0,5·AC·0,5·BD·sin∠BOC;

SHEFG=0,5·0,5·AC·BD·sin∠BOC;

SHEFG=0,5·SABCD.

Читать далее

Признаки вписанного четырехугольника.

Признаки вписанного четырехугольника. 3

Вписанный четырехугольникэто четырехугольник, все вершины которого лежат на одной окружности.

Для того, чтобы четырехугольник был вписанным, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из следующих равенств:

  • ∠BAD+∠BCD=180° (сумма противоположных углов равна 180°);
  • ∠ABD=∠ACD (углы, опирающиеся на одну сторону равны);
  • AF·FC=BF·FD (F — точка пересечения диагоналей);
  • EA·EB=EC·ED (E — точка пересечения прямых AB и СD);
  • AC·BD=AB·CD+BC·AD (теорема Птолемея).

Специальные случаи: 

Любые квадраты, прямоугольники, равнобедренные трапеции можно вписать в окружность.

Читать далее

Метрические соотношения в окружности.

Отрезки пересекающихся хорд связаны соотношением:

Метрические соотношения в окружности. 4

Отрезки касательных, проведенных из общей точки, равны:

Метрические соотношения в окружности. 5

Квадрат длины отрезка касательной равен произведению длин отрезков секущей, проведенной из той же точки:

Метрические соотношения в окружности. 6

Произведения длин отрезков секущих, проведенных из общей точки, равны:

Метрические соотношения в окружности. 7

Читать далее