Теорема о бабочке.

Теорема.

Через E — середину хорды MN провели хорды AC и BD. Пусть AD∩MN=F, а BC∩MN=G. Тогда FE=EG.

Доказательство.

Проведем серединные перпендикуляры к хордам AD, BC и MN. Серединные перпендикуляры к сторонам любого треугольника (в том числе к сторонам треугольника ADC, DBC и BMN) пересекаются в одной точке, центре описанной окружности. Пусть KO, LO и EO серединные перпендикуляры к хордам AD, BC и МN.

Рассмотрим ΔADE и ΔBCE:

  1. ∠ADE=∠ECB (вписанные углы, опирающиеся на дугу AB);
  2. ∠AED=∠BEC (вертикальные углы).

Следовательно, ΔADE подобен ΔBCE и ∠AKE=∠BLE.

Рассмотрим четырехугольник KFEO:  ∠FKO+∠FEO=90°+90°=180°. Следовательно, четырехугольник KFEO вписанный в окружность и ∠FKE=∠FOE.

Рассмотрим четырехугольник EGLO:  ∠GEO+∠GLO=90°+90°=180°. Следовательно, четырехугольник EGLO вписанный в окружность и ∠ELG=∠EOG.

∠FOE=∠FKE=∠AKE=∠BLE=∠GLE=∠GOE.

Следовательно, ΔOFG — равнобедренный с основанием FG, так как OE является биссектрисой и высотой ΔOFG.

FE=EG, так как в равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию является также и медианой.

Читать далее

Площадь проекции плоской фигуры.

Определение 1.

Проекцией точки на плоскость называется основание перпендикуляра, опущенного из данной точки на плоскость, если точка не лежит в данной плоскости, и сама данная точка, если она лежит в этой плоскости. 

Определение 2.

Фигура, состоящая из проекций всех точек фигуры на некоторую плоскость, называется проекцией фигуры на эту плоскость.

Теорема. Площадь проекции плоской фигуры на плоскость ω равна произведению площади фигуры на косинус угла между плоскостью фигуры и плоскостью ω.

Читать далее

Радикальная ось.

Определение. Радикальная ось двух не концентрических окружностей — геометрическое место точек, имеющих равные степени относительно этих окружностей.

Теорема. Если две окружности не концентрические, то их радикальная ось существует и является прямой, перпендикулярной линии, проходящей через центры этих окружностей.

Утверждение 1. Если степени точки относительно двух окружностей равны, то равны отрезки касательных, проведенные из нее к этим окружностям.

Утверждение 2. Если к двум окружностям проведены две внешние и две внутренние касательные, то середины отрезков, соединяющих точки касания, лежат на одной прямой.

Утверждение 3. Общая касательная двух окружностей делится их радикальной осью пополам.

Утверждение 4. Радикальная ось двух пересекающихся окружностей проходит через точки их пересечения.

Утверждение 5. Радикальная ось двух касающихся окружностей есть их общая касательная, проведённая в точке касания.

Утверждение 6. Радикальная ось двух непересекающихся окружностей не пересекает ни одну из них.

Теорема. Три прямые, являющиеся радикальными осями пар трех не концентрических окружностей пересекаются в одной точке или параллельны или совпадают. Если центры окружностей лежат на одной прямой, то их радикальные оси перпендикулярны этой прямой, то есть параллельны или совпадают. Если центры окружностей не лежат на одной прямой, то их радикальные оси пересекаются в одной точке.

Определение. Для трех окружностей, центры которых не лежат на одной прямой, точка, для которой ее степени относительно всех трех окружностей равны, называется радикальным центром трех окружностей.

Читать далее

Степень точки относительно окружности.

Определение. Величина δ=OK2-r2 называется степенью точки K относительно окружности O(r).

Если δ>0, то точка К лежит вне окружности.

Если δ<0, то точка K лежит внутри окружности.

Если δ=0, то точка К лежит на окружности.

Теорема. Если две секущие пересекаются в точке K и одна из них пересекает окружность в точках A1 и A2, а другая пересекает окружность в точках B1 и B2, то 

KA1·KA2=KB1·KB2.

Таким образом произведение KA1·KA2 постоянно для данной окружности и данной точки K, т.е. не зависит от выбора секущей.

Следствие. Если секущая, проходящая через точку K, пересекает окружность O(r) в точках A1 и A2, то 

A1K·A2K=|OK2-r2|.

Читать далее