Формула Эйлера.

В треугольнике OI2=R2-2Rr, где I — точка пересечения биссектрис (центр вписанной окружности), O — центр описанной окружности, R — радиус описанной окружности, r — радиус вписанной окружности.

Формула Эйлера. 1

Доказательство:

Пусть AM — хорда описанной окружности, проходящая через точку I.

Тогда по теореме о пересекающихся хордах: AI·IM=(R+OI)(R-OI).

Из треугольника AIH по определению синуса: AI=r/sin(α/2).

Из треугольника MAC по теореме синусов и лемме о трезубце: CM=2Rsin(α/2)=IM.

Подставим полученные равенства в AI·IM=(R+OI)(R-OI):

r/sin(α/2)·2Rsin(α/2)=R2-OI2

2Rr=R2-OI2.

Следовательно, OI2=R2-2Rr.

Читать далее

Лемма о трезубце.

Пусть продолжение биссектрисы BD треугольника ABC пересекает описанную окружность в точке M; O — центр окружности, вписанной в треугольник ABC; W — центр вневписанной окружности, касающейся стороны AC.

Тогда MA=MO=MC=MW.Лемма о трезубце. 2

 

Доказательство:

Пусть ∠BAC=2α, а ∠ABC=2β.

Следовательно, ∠BAO=∠OAC=α, а ∠ABO=∠OBC=β (центр вписанной окружности треугольника — точка пересечения биссектрис треугольника).

∠AOM=∠BAO+∠ABO=α+β (свойство внешнего угла Δ ABO).

∠OAM=∠OAC+∠CAM=∠OAC+∠CBM=α+β (свойство вписанных углов, опирающихся на одну дугу).

Следовательно, ∠AOM=∠OAM. Δ MAO — равнобедренный, MA=MO.

Аналогично доказывается равенство: MO=MC.

Докажем, что MA=MW.

∠OAW=90° (угол между биссектрисами смежных углов).

∠AWM=90°-∠AOM (свойство острых углов прямоугольного треугольника)=90°-∠OAM=∠MAW.

Следовательно, ΔMAW — равнобедренный, MA=MW.

Читать далее

Теорема Чевы, Менелая и метод масс.

Задача 1. Доказать, что медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

Задача 2. Точки М и N расположены соответственно на сторонах AB и AC треугольника ABC, причем AM:MB=1:2, AN:NC=3:2. Прямая MN пересекает продолжение стороны BC в точке F. Найдите отношение: BF:CF.

Задача 3. На сторонах AB и BC треугольника ABC взяты соответственно точки M и N так, что AM:MB=2:3, BN:NC=2:1. Отрезки AN и СM пересекаются в точке O. Найдите отношение СO:OM.

Задача 4. Стороны треугольника равны 5, 6, 7. Найдите отношение отрезков, на которые биссектриса большего угла этого треугольника разделена центром окружности, вписанной в треугольник.

Задача 5. В треугольнике ABC точка D делит сторону BC в отношении BD:DC=1:3, а точка О делит AD в отношении AO:OD=5:2. В каком отношении прямая BO делит отрезок AC?

Задача 6. В треугольнике ABC взята точка M, а на стороне BC — точка K так, что AM:MC=2:3, BK:KC=4:3. В каком отношении AK делит отрезок BM?

Задача 7. В треугольнике ABC AA1 — биссектриса, BB1 — медиана. AB=2, AC=3. Найти BO:OB1.

Задача 8. Медиана BD и биссектриса AE треугольника ABC пересекается в точке F. Найти площадь треугольника ABC, если AF=3FE, BD=4, AE=6.

Задача 9. На сторонах AB и BC треугольника ABC взяты точки М и N соответственно. Отрезки AN и СM пересекаются в точке L. Площади треугольников AML, CNL и ALC равны соответственно 15, 48 и 40. Найдите площадь треугольника ABC.

Задача 10. На стороне NP квадрата MNPQ взята точка A, а на стороне PQ — точка B так, что NA:AP=PB:BQ=2:3. Точка L является точкой пересечения отрезков MA и NB. В каком отношении точка L делит отрезок MA?

Читать далее

Теорема о трёх перпендикулярах.

Прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна наклонной тогда и только тогда, когда она перпендикулярна проекции наклонной на эту плоскость.

Доказательство.

Пусть прямая l лежит в плоскости γ, a — наклонная, a′ — её проекция на плоскость γ, прямая h — перпендикуляр к γ. Так как прямая h⊥γ, то hl. Проведём через прямые a и a′ плоскость β.

Пусть l a′ . Тогда, поскольку lh, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости lβ, и, следовательно, la.

Обратно, если la, то, поскольку lh, имеем lβ, следовательно, la′.

Читать далее