Взаимное расположение прямой и плоскости.

Возможны три варианта взаимного расположения прямой и плоскости.

Прямая может быть параллельна плоскости, пересекать или принадлежать плоскости.

Параллельность прямой и плоскости.

Прямая и плоскость параллельны, если они не имеют общих точек.

Признак параллельности прямой и плоскости.
Если прямая a параллельна некоторой прямой, лежащей в плоскости, то прямая a параллельна этой плоскости.

Пересечение прямой и плоскости.

Прямая и плоскость пересекаются, если они имеют одну единственную общую точку, которую называют точкой пересечения прямой и плоскости.

Важным частным случаем пересечения прямой и плоскости является их перпендикулярность.

Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

Принадлежность прямой плоскости.

Прямая принадлежит плоскости, если каждая точка прямой принадлежит плоскости.

Читать далее

Взаимное расположение прямых в пространстве.

Две прямые в пространстве могут быть:

  • пересекающимися;
  • параллельными;
  • скрещивающимися.

Пересекающиеся прямые.

Две различные прямые называются пересекающимися, если они имеют общую точку.

Обозначение: ab=A (Прямые a и b пересекаются в точке A).

Угол между пересекающимися прямыми.
Угол между двумя пересекающимися прямыми – это мера меньшего из четырех углов, образованных этими прямыми.

При пересечении двух прямых образуются четыре угла. Если все углы равны друг другу, то прямые a и b называются перпендикулярными, и угол между этими прямыми равен 90°. Если не все углы равны друг другу, то углом между прямыми a и b является меньший из образованных углов.

Параллельные прямые.

Две различные прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Обозначение: a||b (Прямые a и b параллельны).

Параллельность обладает свойством транзитивности: две различные прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой.

Скрещивающиеся прямые.

Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Угол между скрещивающимися прямыми.
Пусть прямые a и b скрещиваются. Возьмем в пространстве произвольную точку N. Возможны два случая:

  1. Точка N не принадлежит ни прямой a, ни прямой b.
    Проведем через N прямую a', параллельную a, и прямую b', параллельную b. Прямые a' и b' пересекаются в точке N. Угол между прямыми a' и b' называется углом между прямыми a и b.
  2. Точка N принадлежит одной из прямых. Допустим, что Na. Проведем через точку N прямую b', параллельную b. Прямые a и b' пересекаются в точке N. Угол между прямыми a и b' называется углом между прямыми a и b.

Угол между скрещивающимися прямыми – это угол между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны заданным скрещивающимся прямым.

Читать далее

Схема Горнера.

Схема Горнера — схема, с помощью которой можно разделить многочлен  на бином x-x0Данная схема очень часто упрощает решение уравнений, если известен какой-нибудь целочисленный корень уравнения.

Алгоритм вычисления по схеме Горнера:

  1. Заполняем таблицу, количество столбцов которой на 2 больше, чем степень исходного многочлена;
  2. Начиная со второй ячейки первой строки записываем коэффициенты исходного многочлена, предварительно записанного в стандартном виде;
  3. В первую ячейку второй строки записываем потенциальный корень многочлена(x0);
  4. Под первым коэффициентом делимого а0 во второй строчке пишется ещё раз этот коэффициент;
  5. Под коэффициентом а1 пишется число b1=а1+b0·x0;
  6. Под коэффициентом аn пишется число bn=аn+bn-1x0;

В последней ячейке второй строки должен получиться остаток от деления многочлена на бином x-x0. Если он равен нулю, то исходный многочлен делится без остатка на бином x-x0.  Из заполненной таблицы по схеме Горнера, можно выписать и неполное частное при делении многочлена на бином x-x0. Коэффициенты неполного частного берутся из второй строки.

Рассмотрим пример. Решить уравнение  3x4-6x3+2x2+2x-1=0.

1. Подбираем корень уравнения.

Потенциальными корнями уравнения могут быть делители свободного члена: -1, 1.

Подставим 1 в исходное уравнение вместо х: 3·14-6·13+2·12+2·1-1=3-6+2+2-1=-3+4-1=0. Следовательно, x=1 — корень уравнения.

2. Заполним схему Горнера.

3 -6 2 2 -1
1 3 -3=-6+1·3 -1=2+1·(-3) 1=2+1·(-1) 0=-1+1·1

Следовательно, уравнение можно записать в виде: (x-1)(3x3-3x2-x+1)=0. Попытаемся разложить на множители многочлен 3x3-3x2-x+1. 

3 -3 -1 1
1 3 0=-3+1·3 -1=-1+1·0 0=1+1·(-1)

Получаем, 3x4-6x3+2x2+2x-1=(x-1)(3x3-3x2-x+1)=(x-1)(x-1)(3x2-1).

Уравнение 3x4-6x3+2x2+2x-1=0 имеет корни: 1, 1/√3, -1/√3.

Читать далее

Возведение в квадрат натурального числа, которое заканчивается на 5, в уме.

Чтобы возвести в квадрат число, которое заканчивается на 5, можно воспользоваться следующим алгоритмом:

  1. Отбросить у числа последнюю цифру справа;
  2. Умножить полученное число на последующее за ним число в ряду натуральных чисел;
  3. К полученному в пункте 2 числу приписать справа 25.

Пример:

1052=10·(10+1)25=11025

252=2·(3)25=625

Читать далее