Геометрия | Царство математики

Геометрия, ЕГЭ, ОГЭ, Планиметрия, Школьная программа

Инцентр треугольника.

11.10.2019 Комментариев нет

Инцентр — точка пересечения биссектрис треугольника. Инцентр является центром вписанной окружности.

Свойства:

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
Инцентр находится на одинаковом расстоянии от всех сторон треугольника.
Инцентр делит биссектрису угла A треугольника ABC в отношении: (AB+AC)/BC.

Геометрия, ЕГЭ, ОГЭ, Планиметрия, Школьная программа

Центроид треугольника.

11.10.2019 Комментариев нет

Центроид треугольника — точка пересечения медиан треугольника.

Свойства:

Медианы треугольника пересекаются в одной точке;
Точка пересечения медиан треугольника делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины;
Центроид лежит на прямой, соединяющей ортоцентр и центр описанной окружности, и делит его в отношении 2:1;
Три отрезка, соединяющие вершины треугольника с центроидом, делят треугольник на три равновеликих треугольника;
Три отрезка, соединяющие середины сторон треугольника с центроидом, делят треугольник на три равновеликих четырехугольника.

Геометрия, ЕГЭ, ОГЭ, Планиметрия, Школьная программа

Вневписанная окружность треугольника.

09.10.2019 Комментариев нет

Определение.

Окружность, касающаяся стороны треугольника и продолжения двух других его сторон, называется вневписанной окружностью треугольника.

Теорема 1.

Центр окружности, вневписанной в треугольник, есть точка пересечения биссектрис двух внешних и одного внутреннего угла треугольника.

Доказательство.

BF — биссектриса ∠JBG, следовательно F равноудалена от сторон данного угла.

СF — биссектриса ∠JСH, следовательно F равноудалена от сторон данного угла.

Следовательно, точка F равноудалена от сторон ∠BAC.

Таким образом, точка F — центр окружности, касающейся стороны BC и продолжения сторон AB и AC. По определению данная окружность называется вневписанной окружностью треугольника.

Теорема 2.

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой касания вневписанной окружности и противолежащей стороны, делит треугольник на два треугольника равного периметра.

Доказательство.

BJ=BG, GC=CH и AJ=AH (свойство отрезков касательных, проведенных из одной точки к окружности).

P_ΔABC=AB+BC+AC=AB+BG+GC+AC=AB+BJ+AC+CH=AJ+AH.

Так как AJ=AH, то P_ΔABC/2=AJ=AH и P_ΔABC/2+AG=AJ+AG=AH+AG=AB+BG+GA=AC+CG+GA.

Следовательно, отрезок AG поделил треугольник ABC на два треугольника равного периметра P_ΔABC/2+AG.

Советую прочитать:

Геометрия, ЕГЭ, Олимпиадная геометрия, Планиметрия, Подготовка к олимпиадам, Школьная программа

Ортоцентр.

03.10.2019 Комментариев нет

Ортоцентр — точка пересечения прямых, содержащих высоты треугольника.

Ортоцентр остроугольного треугольника лежит внутри треугольника.

Ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла.

Ортоцентр тупоугольного треугольника лежит вне треугольника.

Свойства:

Точка, симметричная ортоцентру относительно стороны треугольника, лежит на описанной около него окружности.
Точка, симметричная ортоцентру относительно середины стороны треугольника, лежит на описанной окружности и диаметрально противоположна вершине треугольника, противолежащей стороне.
Расстояние от вершины треугольника до ортоцентра в два раза больше расстояния от центра описанной окружности до противолежащей стороны.
Сумма квадратов расстояния от вершины треугольника до ортоцентра и длины стороны, противолежащей этой вершине, равна квадрату диаметра описанной окружности.
Радиус описанной окружности, проведенный к вершине треугольника, перпендикулярен соответствующей стороне ортотреугольника.
При изогональном сопряжении ортоцентр переходит в центр описанной окружности.
Ортоцентр в остроугольном треугольнике является инцентром ортотреугольника.
Три отрезка прямых, соединяющих ортоцентр с вершинами остроугольного треугольника, разбивают его на три треугольника, имеющих равные радиусы описанных окружностей. При этом одинаковый радиус этих трех окружностей равен радиусу окружности, описанной около исходного остроугольного треугольника.

1 2 3 … 9 Далее →