Углы, связанные с окружностью.

Центральный угол — угол, вершина которого совпадает с центром окружности.

Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают её.

Вписанный угол в два раза меньше центрального, опирающегося на ту же дугу.

Углы, связанные с окружностью. 1

Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

Углы, связанные с окружностью. 2

Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, вершины которых лежат по одну сторону от этой хорды, равны.

Углы, связанные с окружностью. 3

Все вписанные углы, опирающиеся на диаметр, прямые.

Углы, связанные с окружностью. 4

Любые два вписанных угла, опирающиеся на одну и ту же хорду, вершины которых лежат по разные стороны хорды, составляют в сумме 180°.

Углы, связанные с окружностью. 5

Угол между пересекающимися хордами измеряется полусуммой дуг, заключенных между его сторонами.

Углы, связанные с окружностью. 6

Угол между секущими, пересекающимися вне окружности, измеряется полуразностью дуг, заключенных между его сторонами.

Углы, связанные с окружностью. 7

Угол между касательной и секущей, пересекающимися вне окружности, измеряется полуразностью дуг, заключенных между его сторонами.

Углы, связанные с окружностью. 8

Угол между касательными к окружности измеряется полуразностью дуг, заключенных между его сторонами.

Углы, связанные с окружностью. 9

Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, равняется половине центрального угла, опирающегося на данную хорду:

Углы, связанные с окружностью. 10

Читать далее

Формула Карно.

Формула Карно. 11

В треугольнике сумма расстояний от центра описанной окружности до сторон треугольника, взятых со знаком "–", в случае когда перпендикуляр, проведенный из центра описанной окружности на сторону, целиком лежит вне треугольника, равняется сумме радиусов вписанной и описанной окружности.

Формула: ±OM1±OM2±OM3=R+r.

Примеры: 

Читать далее

Критерий Карно.

Перпендикуляры, опущенные из точек A1, B1 и С1 на прямые ВС, СА и АВ соответственно, пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполняется равенство:

A1C2-A1B2+C1B2-C1A2+B1A2-B1C2=0.

Следствие:

Перпендикуляры, опущенные из А1, В1, С1 на BC, АС, AВ соответственно, пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда перпендикуляры, опущенные из А, В, С на В1С1, А1С1, A1B1 соответственно, пересекаются в одной точке.

 

Задача 1. Докажите, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.

Задача 2. Докажите, что если перпендикуляры, восставленные из оснований биссектрис треугольника, пересекаются в одной точке, то треугольник равнобедренный.

Задача 3. Точки M и N — середины боковых сторон AB и CD трапеции ABCD. Диагонали трапеции пересекаются в точке O.
Докажите, что AM2 − MO2 = DN2 − NO2.

Задача 4. Даны три попарно пересекающиеся окружности.
Докажите, что три общие хорды этих окружностей проходят через одну точку.

Задача 5. К каждой стороне треугольника провели перпендикуляр в точке касания данной стороны с вневписанной окружностью.
Докажите, что три этих перпендикуляра пересекаются в одной точке.

Задача 6. Вневписанные окружности треугольника ABC касаются сторон BCAC и AB в точках A1B1 и C1 соответственно. 
Докажите, что перпендикуляры, восставленные к этим сторонам в точках соответственно A1B1 и C1, пересекаются в одной точке.

Задача 7. Дан правильный треугольник ABC и произвольная точка D. Точки A1B1 и C1 — центры окружностей, вписанных в треугольники BCD, CAD и ABD соответственно.
Докажите, что перпендикуляры, опущенные из вершин A, B и C на прямые соответственно B1C1A1C1 и A1B1, пересекаются в одной точке.

Задача 8. Треугольник ABC правильный, P — произвольная точка. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из центров вписанных окружностей треугольников PABPBC и PCA на прямые ABBC и CA, пересекаются в одной точке.

Задача 9. Прямые, проведенные через вершины треугольника ABC параллельно соответствующим сторонам треугольника A1B1C1, пересекаются в одной точке.
Докажите, что прямые, проведенные через вершины треугольника A1B1C1 параллельно соответствующим сторонам треугольника ABC, тоже пересекаются в одной точке.

Задача 10. Перпендикуляры, опущенные из вершин треугольника ABC на соответствующие стороны треугольника A1B1C1, пересекаются в одной точке.
Докажите, что перпендикуляры, опущенные из вершин треугольника A1B1C1 на соответствующие стороны треугольника ABC, тоже пересекаются в одной точке.

 

Читать далее

Окружность 9 точек.

В любом треугольнике основания высот, середины сторон и середины отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами, лежат на одной окружности с центром в середине отрезка OH и радиусом R/2.

Окружность 9 точек. 15

 

В треугольнике по отношению к описанной окружности окружность девяти точек может располагаться следующим образом:

  • Она касается описанной окружности в единственном случае, если треугольник прямоугольный. При этом касание двух окружностей идет в вершине прямого угла треугольника.
  • Она целиком лежит внутри описанной окружности, если треугольник остроугольный.
  • Она пересекает описанную окружность в двух разных точках, если треугольник тупоугольный.

Утверждение 1:

Треугольники ABC, HBC, AHC, ABH имеют общую окружность 9 точек.

Утверждение 2: 

Прямые Эйлера треугольников ABC, HBC, AHC, ABH пересекаются в одной точке.

Утверждение 3:

Центры описанных окружностей треугольников ABC, HBC, AHC, ABH образуют четырехугольник, симметричный четырехугольнику ABCH.

Читать далее