Теорема Чевы, Менелая и метод масс.

Теорема Чевы

 

Теорема Чевы, Менелая и метод масс. 1 подготовка к ОГЭ, ЕГЭ и олимпиадам по математике

Три чевианы AD, BG и CE треугольника ABC пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполняется следующее равенство:

    \[\frac{AE}{EB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac {CG}{GA}=1\]

Пример 1. Три чевианы AD, BG и CE треугольника ABC пересекаются в одной точке так, что AE:EB=2:1, BD:DC=2:3. Как относится CG к GA?

Решение.

По теореме Чевы:

    \[\frac{AE}{EB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac {CG}{GA}=1\]

    \[\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac {CG}{GA}=1\]

    \[\frac {CG}{GA}=\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}\]

    \[\frac {CG}{GA}=\frac{3}{4}\]

Ответ: 3:4.

Теорема Менелая

Теорема Чевы, Менелая и метод масс. 2 подготовка к ОГЭ, ЕГЭ и олимпиадам по математике

Три точки E, D и F лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется следующее соотношение:

    \[\frac{AE}{EB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac {CF}{FA}=1\]

Пример 2.

AD — медиана треугольника ABC. Точка E лежит на AB. ED пересекает AC в точке F.

Найдите как относится CF к FA, если AE к EB относится как 4:1.

Решение.

Так как точки E, D и F лежат на одной прямой, то можно воспользоваться теоремой Менелая:

    \[\frac{AE}{EB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac {CF}{FA}=1\]

    \[\frac{4}{1} \cdot \frac{1}{1} \cdot \frac {CF}{FA}=1\]

    \[\frac {CF}{FA}=\frac{1}{4}\]

Ответ: 1:4.

Метод масс

Теорема Чевы, Менелая и метод масс. 3 подготовка к ОГЭ, ЕГЭ и олимпиадам по математике

Три чевианы AD, BG и CE треугольника ABC пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполняются следующие равенства:

    \[\begin{matrix}m_{1} \cdot AE=m_{3} \cdot BE \\ m_{3} \cdot BD=m_{2} \cdot DC\\ m_{2} \cdot CG=m_{1} \cdot AG\\ m_{1} \cdot AF=(m_{3}+m_{2}) \cdot FD\\ m_{3} \cdot BF=(m_{1}+m_{2}) \cdot FG\\ m_{2} \cdot CF=(m_{1}+m_{3}) \cdot FE\\ \end{matrix}\]

Пример 3. На сторонах AB и BC треугольника ABC взяты соответственно точки M и N так, что AM:MB=2:3, BN:NC=2:1. Отрезки AN и CM пересекаются в точке O. Найдите отношение CO:OM.

Решение. Поставим в вершины треугольника ABC массы так, чтобы выполнялись следующие равенства:

    \[\begin{matrix} m_{1} \cdot AM=m_{2} \cdot MB \\m_{2} \cdot BN=m_{3} \cdot NC \\ \end{matrix}\]

Видим, что m_{1} =3, m_{2} =2, а m_{3}=4.

Тогда,  4 \cdot CO=(3+2) \cdot OM

    \[\frac {CO}{OM}=\frac {5}{4}\]

Ответ: 5:4.

Тренировочные задания

Задача 1. Доказать, что медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

Задача 2. Точки М и N расположены соответственно на сторонах AB и AC треугольника ABC, причем AM:MB=1:2, AN:NC=3:2. Прямая MN пересекает продолжение стороны BC в точке F. Найдите отношение: BF:CF.

Задача 3. На сторонах AB и BC треугольника ABC взяты соответственно точки M и N так, что AM:MB=2:3, BN:NC=2:1. Отрезки AN и СM пересекаются в точке O. Найдите отношение СO:OM.

Задача 4. Стороны треугольника равны 5, 6, 7. Найдите отношение отрезков, на которые биссектриса большего угла этого треугольника разделена центром окружности, вписанной в треугольник.

Задача 5. В треугольнике ABC точка D делит сторону BC в отношении BD:DC=1:3, а точка О делит AD в отношении AO:OD=5:2. В каком отношении прямая BO делит отрезок AC?

Задача 6. В треугольнике ABC взята точка M, а на стороне BC — точка K так, что AM:MC=2:3, BK:KC=4:3. В каком отношении AK делит отрезок BM?

Задача 7. В треугольнике ABC AA1 — биссектриса, BB1 — медиана. AB=2, AC=3. Найти BO:OB1.

Задача 8. Медиана BD и биссектриса AE треугольника ABC пересекается в точке F. Найти площадь треугольника ABC, если AF=3FE, BD=4, AE=6.

Задача 9. На сторонах AB и BC треугольника ABC взяты точки М и N соответственно. Отрезки AN и СM пересекаются в точке L. Площади треугольников AML, CNL и ALC равны соответственно 15, 48 и 40. Найдите площадь треугольника ABC.

Задача 10. На стороне NP квадрата MNPQ взята точка A, а на стороне PQ — точка B так, что NA:AP=PB:BQ=2:3. Точка L является точкой пересечения отрезков MA и NB. В каком отношении точка L делит отрезок MA?

Подписаться
Уведомить о
guest
0 Комментарий
Межтекстовые Отзывы
Посмотреть все комментарии